Question

18．地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，引力常量为G，一颗卫星在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动，求：
（1）地球的密度．
（2）卫星的运动周期．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力求出地球的质量，结合地球的体积求出地球的密度．
（2）根据万有引力提供向心力求出卫星运动的周期．

解答 解：（1）根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，地球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
则地球的密度为：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πRG}$．
（2）根据$mg=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得卫星的周期为：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}R}{g}}$=$2π\sqrt{\frac{R}{g}}$．
答：（1）地球的密度为$\frac{3g}{4πRG}$．
（2）卫星运动的周期为$2π\sqrt{\frac{R}{g}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．