Question

9．质量为5.4kg且倾角为α=37°的粗糙斜劈放置在水平面上，其与水平面间的动摩擦因数μ₁=0.4，质量为5kg的物体a放在斜面上且与斜面间的动摩擦因数μ₂=0.5．一根平行于斜面的轻质细线一端固定在物体a上，另一端绕过两个光滑小滑轮固定在水平横杆c处，滑轮2下吊有一物体b且β=74°，物体a受到斜劈的摩擦力大小为F_f，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10N/kg，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）当a与斜面间的摩擦力F_f=0N时，物体b的质量；
（2）保证系统静止时，b的质量范围．

Answer 1

分析 （1）当a与斜面间的摩擦力F_f=0N时，a受到重力、斜面的支持力和绳子的拉力，根据平衡条件求出绳子的拉力，再由滑轮研究，由平衡条件求b的质量．
（2）当a刚要下滑时b的质量最小，当a刚好上滑时b的质量最大，a刚要滑动时静摩擦力达到最大值，根据平衡条件解答．

解答 解：（1）当a与斜面间的摩擦力F_f=0N时，a受到重力、斜面的支持力和绳子的拉力，则得绳子的拉力 T=m_agsinα=5×10×sin37°=30N
对于滑轮有：2Tcos$\frac{β}{2}$=m_bg
可得 m_b=$\frac{2Tcos37°}{g}$=$\frac{2×30×0.8}{10}$=4.8kg
（2）当a刚要下滑时b的质量最小，a所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大，则有：
  m_agsinα=μ₂m_agcosα+T
对于b，有：2Tcos$\frac{β}{2}$=m_bming
解得：m_bmin=1.6kg
当a刚好上滑时，a所受的静摩擦力沿斜面向下达到最大，则有：
  m_agsinα+μ₂m_agcosα=T
对于b，有：2Tcos$\frac{β}{2}$=m_bmaxg
解得m_bmax=8kg
当a有上滑趋势，且斜劈相对于地面刚好滑动时，对a和斜劈整体有：
  Tcos53°=μ₁（Mg+m_ag+Tsin53°）
  2Tcos$\frac{β}{2}$=m′_bmaxg
解得 m′_bmax≈23.77kg
综上可知，保证系统静止时，b的质量范围为：1.6kg≤m_b≤8kg
答：
（1）当a与斜面间的摩擦力F_f=0N时，物体b的质量是4.8kg；
（2）保证系统静止时，b的质量范围是1.6kg≤m_b≤8kg．

点评 解决本题的关键要把握物体刚要滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值，灵活选取研究对象，抓住a与滑轮之间的联系：绳子，由平衡条件和摩擦力公式解答．