Question

如图（a）所示，轮轴的轮半径为2r，轴半径为r，它可以绕垂直于纸面的光滑水平轴O转动，图（b）为轮轴的侧视图．轮上绕有细线，线下端系一质量为M的重物，轴上也绕有细线，线下端系一质量为m的金属杆．在竖直平面内有间距为L的足够长平行金属导轨PQ、MN，在QN之间连接有阻值为R的电阻，其余电阻不计．磁感强度为B的匀强磁场与导轨平面垂直．开始时金属杆置于导轨下端，将重物由静止释放，重物最终能匀速下降，运动过程中金属杆始终与导轨接触良好．
（1）重物M匀速下降的速度v多大？
（2）对一定的B，取不同的M，测出相应的M作匀速运动时的v值，得到实验图线如图（c），实验中电阻R=0.1Ω，L=1m，则实验中m和B的值分别为多大？

Answer 1

分析：（1）首先根据轮轴原理，得出M与金属杆的速度关系．重物最终匀速下降，重力势能减小，金属杆匀速上升，重力势能增加，整个系统重力势能减小转化为电能，根据能量守恒定律列式，求解重物M匀速下降的速度．
（2）根据第1题v的表达式，分析v-M图象的斜率，结合图象求出横轴的截距和斜率，即可得到m和B．

解答：解：（1）设匀速运动时M的速度为v=v₁，m的速度为v₂，有：
v₁=2v₂ …①
杆所受的安培力：F=BIL…②
回路中的感应电流为：=

E

R

…③
杆产生的感应电动势为：E=BLv₂…④
则得：F=

B2L2v2

R

…⑤
根据能量守恒定律有：
Mgv₁=（F+mg）v₂…⑥
联立①⑤⑥解得：v₁=v=

2(2M-m)gR

B2L2

即：v=

4MgR

B2L2

-

2mgR

B2L2

…⑦
（2）图上当v=0时，M=2kg，所以有：m=2M=4kg…⑧
由图得：

4gR

B2L2

=

16

10

…⑨
代入数据得：B=

10

2

T…⑩
答：（1）重物M匀速下降的速度v为

4MgR

B2L2

-

2mgR

B2L2

．
（2）对一定的B，取不同的M，测出相应的M作匀速运动时的v值，得到实验图线如图（c），实验中电阻R=0.1Ω，L=1m，则实验中m和B的值分别为4kg，

10

2

T．

点评：本题中运用F=BIL、I=

E

R

、E=BLv推导安培力的表达式是求解的关键步骤，再运用数学知识分析图象的信息，得到B₁和B₂的比值，中等难度．