Question

如图所示，在xoy平面内存在B=2T的匀强磁场，OA与OCA为置于竖直平面内的光滑金属导轨，其中OCA满足曲线方程x=0.5sin

π

5

y，C为导轨的最右端，导轨OA与OCA相交处的O点和A点分别接有体积可忽略的定值电阻R₁=6Ω和R₂=12Ω．现有一长L=1m、质量m=0.1kg的金属棒在竖直向上的外力F作用下，以v=2m/s的速度向上匀速运动，设棒与两导轨接触良好，除电阻R₁、R₂外其余电阻不计，重力加速度为g，求：
（1）金属棒在导轨上运动时R₂上消耗的最大功率；
（2）外力F的最大值．

Answer 1

分析：（1）金属棒沿导轨竖直向上运动，进入磁场中切割磁感线产生感应电动势．当金属棒匀速运动到C点时，电路中感应电动势最大，产生的感应电流最大，根据感应电动势公式E_m=Bl_mv求出感应电动势，由公式P=

E 2 m

R2

求解R₂上消耗的最大功率；
（2）金属棒相当于电源，外电路中R₁、R₂并联，先求出并联阻值．再根据闭合电路欧姆定律求出感应电流的最大值I，最大安培力为 F_安=BIx_m．即可求解．

解答：解：（1）金属棒向上匀速运动的过程中切割磁感线，产生电动势，接入电路的有效长度即为OCA导轨形状所满足的曲线方程，因此接入电路的金属棒长度为：
l=x=0.5sin

π

5

y
所以当棒运动到C点时，感应电动势最大，即：
E_m=Bl_mv=Bx_mv=2×0.5×2V=2V
电阻R₁、R₂并联，此时R₂上消耗的功率最大，最大值为：
P₂=

E 2 m

R2

=

22

12

W=

1

3

W≈0.33W
（2）金属棒相当于电源，外电路中R₁、R₂并联，其并联阻值为：
R=

R1R2

R1+R2

=

6×12

6+12

Ω=4Ω
通过金属棒的最大电流为：
I=

Em

R

=

2

4

A=0.5A
所以最大安培力为：
F_安=BIx_m=2×0.5×0.5A=0.5N
因为金属棒受力平衡，所以外力的最大值为：
F=F_安+mg=0.5N+1N=1.5N
答：（1）金属棒在导轨上运动时R₂上消耗的最大功率约为0.33W；
（2）外力F的最大值为1.5N．

点评：本题金属棒产生的是正弦式交变电流，解得本题关键要能分析出什么时候感应电动势最大，知道哪部分是电源，哪部分是外电路，知道电路的连接关系．难度中等．