Question

15．有10个相同的木块相互紧挨地放在水平面上，每个木块的质量m=0.4kg，长度L=0.50m，与地面的摩擦系数μ₁=0.1，它们原来都静止．另有一质量为M=1.0kg的小铅块，与木块间摩擦系数μ₂=0.2，以v₀=4.3m/s的水平初速度冲上左边的第一个木块．忽略铅块的大小，试问：
（1）最终整个系统摩擦生热是多少？
（2）通过计算说明铅块是否掉下木块，若能则已，若不能则说明停在那一块木块上？

Answer 1

分析 铅块在木块上滑行时，当铅块对木块的滑动摩擦力等于木块所受的最大静摩擦力时，恰好能带动它右面的木块一起运动，运用动能定理列式求出铅块滑上该木块左端时的速度，然后应用牛顿第二定律与运动学公式分析答题．

解答 解：要带动木块运动就要铅块施加给木块的滑动摩擦力大于地面施加的最大静摩擦力．
铅块受到的滑动摩擦力：f_铅=μ₂Mg=0.2×1×10=2N，
所以铅块施加的摩擦力：f′=f_铅=2N，
设铅块带动木块移动时，后面还有n个木块，则有：
  μ₁（mg+Mg）+μ₁nmg=f′，
带入数据得：0.1×（0.4×10+1×10）+0.1×n×0.4×10=2，
解得：n=1.5，所以铅块能够滑过8个木块，到第9个木块时，带动木块运动，
所以铅块能够滑过8个木块，到第9个木块时，带动木块运动，根据动能定理得：
  $\frac{1}{2}$Mv²-$\frac{1}{2}$Mv₀²=-f_铅•8L，带入数据得：v=$\sqrt{2.49}$m/s≈1.58m/s，
由牛顿第二定律得，对铅块M：a=$\frac{{μ}_{2}Mg}{M}$=μ₂g=0.2×10=2m/s²，v₂=v-at
对木块9和10：a′=$\frac{{μ}_{2}Mg-{μ}_{1}（M+2m）g}{2m}$=0.25m/s²，v₁=a′t，
令v₁=v₂，则它们获得共同速度所需时间为：t=$\frac{v}{a+a′}$=$\frac{1.58}{2+0.25}$≈0.7s，v₂=v₁=0.25×0.7=0.175m/s，
铅块位移为：x=vt-$\frac{1}{2}$at²=1.58×0.7-$\frac{1}{2}$×2×0.7²=0.616m，
木块位移为：x′=$\frac{1}{2}$a′t²=$\frac{1}{2}$×0.25×0.7²=0.06125m，
铅块相对木块位移为：△x=x-x′=0.55475m＞L，
则铅块将滑动第10块木块上，铅块最终将静止在第10个木块上．
根据能量守恒可得：最终整个系统摩擦生热是 Q=$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×4．{3}^{2}$J=9.245J
答：
（1）最终整个系统摩擦生热是9.245J
（2）铅块最终将静止在第10个木块上．

点评 本题考查了确定铅块的位置、求铅块的位移，分析清楚铅块与木块的运动过程、应用摩擦力公式、动能定理、牛顿第二定律、运动学公式即可正确解题．