Question

13．如图所示，在xoy平面内，有以O′（R，0）为圆心，R为半径的圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直xoy平面向外，在y=R上方有范围足够大的匀强电场，方向水平向右，电场强度大小为E．在坐标原点O处有一放射源，可以在xoy平面内向y轴右侧（x＞0）发射出速率相同的电子，已知电子在该磁场中的偏转半径也为R，电子量为e，质量为m．不计重力及阻力的作用．
（1）求电子射入磁场时的速度大小；
（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的电子，求它到达y轴所需要的时间
（3）求电子能够射到y轴上的范围．

Answer 1

分析 （1）根据洛伦兹力提供圆周运动的向心力，列式求解速度大小；
（2）电子速度方向沿x轴正方向射入磁场，先做匀速圆周运动，轨迹为$\frac{1}{4}$圆周．射出磁场后，电子做类平抛运动，根据牛顿第二定律和运动学位移公式求解时间．即可求得总时间．
（3）电子在磁场中偏转半径与磁场区域的半径相同，所有电子经过磁场的偏转后都垂直电场射入匀强电场，最远能到达y轴的电子沿着磁场边界运动．由几何关系求解即可．

解答 解：（1）设电子进入磁场的速度为v，由洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有：
evB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
得：v=$\frac{eBR}{m}$
（2）电子速度方向沿x轴正方向射入磁场，先做匀速圆周运动，轨迹为$\frac{1}{4}$圆周，设所用时间为t₁．则有：
t₁=$\frac{T}{4}$
又 T=$\frac{2πR}{v}$，得：T=$\frac{2πm}{eB}$
解得：t₁=$\frac{πm}{2eB}$
射出磁场后，电子做类平抛运动到达y轴，设所用时间为t₂．
则有：R=$\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}{t}_{2}^{2}$
可得：t₂=$\frac{\sqrt{2mR}}{eE}$
所以所求时间为：t=t₁+t₂=$\frac{πm}{2eB}$+$\frac{\sqrt{2mR}}{eE}$
（3）电子在磁场中偏转的半径同磁场区域的半径，所以所有电子经过磁场的偏转后都能垂直电场射入匀强电场，最远能到达y轴的电子沿着磁场边界运动，最远在y轴上的坐标为：y_max=R+h
又 h=vt，2R=$\frac{eE}{2m}{t}^{2}$
解得：y_max=R+2BR$\sqrt{\frac{eR}{mE}}$
最近的y坐标为：y_min=R
所以能打到的范围是（R，R+2BR$\sqrt{\frac{eR}{mE}}$）
答：（1）电子射入磁场时的速度大小为$\frac{eBR}{m}$；
（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的电子，它到达y轴所需要的时间为$\frac{πm}{2eB}$+$\frac{\sqrt{2mR}}{eE}$．
（3）电子能够射到y轴上的范围是（R，R+2BR$\sqrt{\frac{eR}{mE}}$）．

点评 由洛伦兹力提供圆周运动向心力，根据轨迹关系求出电子进入磁场中的速度方向，再根据速度关系求出质子在电场中做何种运动，然后根据运动性质求解．