Question

4．如图甲所示，竖直平行放置的金属板A、B的电压为U₀，中心各有一个小孔P、Q．水平平行放置的金属板C、D间电压的变化规律如图乙所示，板长和板间距均为L，粒子的接收屏M与D板间夹角为127°，现从P点处连续不断的有质量为m，带电量为+q的粒子放出（粒子的初速度可忽略不计），经加速电场AB加速后从Q点水平射出，紧贴着C板的下侧并平行C板射入C、D板间的匀强电场（边缘外没有电场），经过一个周期后，粒子恰好通过C、D间的电场，不计粒子间的相互作用力，重力不计，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）金属板C、D板间所加电压变化的周期为多少？
（2）若粒子在t=0时刻进入C、D之间的电场，并且恰好从D板的最右边缘飞出，那么，从D板右边缘飞出的粒子的速度是多少？
（3）要使在t=$\frac{T}{2}$时刻进入C、D间的粒子垂直打在电场外的M屏上，可在金属板C、D的右边缘外的某个区域内加一个垂直于纸面的匀强磁场，要求该磁场的磁感应强度最小，如果该磁场仅分布在一个圆形区域内，那么，该圆形磁场区域的最小面积是多少？

Answer 1

分析 （1）先由动能定理求出电场加速获得的速度．粒子进入CD间，水平方向做匀速直线运动，由L=v₀T求解T．
（2）若在t=0时刻进入C、D间电场的粒子恰从D板边缘飞出，粒子在CD间先做类平抛运动，后沿速度方向做匀速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解．
（3）在t=$\frac{1}{2}$T时刻进入C、D间的粒子，竖直分位移最小，由位移公式求出竖直分位移最小值，并由几何关系得到粒子束的宽度．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由数学知识求得轨道半径，从而由牛顿第二定律可求得B．由几何知识求解磁场的最小面积S_min．

解答 解：（1）电场加速过程，有：qU₀=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$       
粒子在C、D间运动过程，有：L=v₀T         
解得：T=$L\sqrt{\frac{m}{2q{U}_{0}}}$
（2）粒子在C、D间电场中运动时的加速度：a=$\frac{qU}{mL}$              
在t=$\frac{1}{2}$T时刻竖直分速度：v_y=a$•\frac{T}{2}$                  
竖直位移为：L=$\frac{0+{v}_{y}}{2}•\frac{T}{2}+{v}_{y}•\frac{T}{2}$       
解得：U=$\frac{16}{3}{U}_{0}$                      
射出时速度方向与射入方向间的夹角：tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
解得：tanα=$\frac{4}{3}$，α=53°          
射出时速度的大小为：v=$\frac{{v}_{0}}{cos53°}=\frac{5}{3}•\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$   
（3）在t=$\frac{1}{2}$T时刻进入C、D间的粒子，有：y_min=$\frac{0+{v}_{y}}{2}•\frac{T}{2}=\frac{1}{3}L$     
其速度大小和方向与t=0时刻进入的粒子相同，平行于M板，粒子束的宽度为：
d=$\frac{2L}{3}cos53°=\frac{2L}{5}$                    
粒子在磁场中做匀速圆周运动：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
粒子在磁场中的半径为：r=d=$\frac{2}{5}L$                       
解得：B=$\frac{25}{6l}\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$  
最小的磁场的半径：$R=\frac{1}{2}\sqrt{2{d}^{2}}$
最小面积为：S_min=πR²=$\frac{2{πL}^{2}}{25}$
答：（1）T 与上述物理量之间应满足的关系是T=$L\sqrt{\frac{m}{2q{U}_{0}}}$；
（2）U为$\frac{16}{3}{U}_{0}$，此粒子射出时的速度v大小为$\frac{5}{3}•\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$，方向与射入方向间的夹角为53°．
（3）磁场的最小面积为$\frac{2{πL}^{2}}{25}$

点评 本题关键是分析带电粒子的运动情况，确定出临界条件，运用牛顿第二定律和运动学规律结合进行求解．