Question

1．为了研究过山车的原理，物理小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°的倾斜轨道AB，通过水平轨道BC进入竖直圆轨道1，接着进入为水平轨道DE和竖直圆轨道2，其中AB，BC轨道以微小圆弧相接，已知竖直圆轨道1的半径R=0.8m，竖直圆轨道2的半径r=0.4m，水平轨道DE长为4m，如图所示，一个质量为0.5kg的小物块（可看做质点）静止从A点沿倾斜轨道滑下（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）假设整个轨道都是光滑的，要使小物块通过两个圆轨道滑出，求斜面AB长L至少为多少？
（2）假设只有水平轨道DE是不光滑的，小物块经斜面下滑后恰能通过竖直圆轨道1，而后经水平轨道DE进入竖直圆轨道2，并且能够滑回水平轨道DE，小物块整个运动过程不脱离轨道，求小物块最终可能停在什么范围内？

Answer 1

分析 （1）要使小物块通过两个圆轨道滑出，则要求物块能够通过竖直圆轨道1的最高点，根据向心力公式求出到达最高点的最小值，再根据动能定理求解斜面AB长；
（2）小物块经斜面下滑后恰能通过竖直圆轨道1，则在最高点的速度为$\sqrt{gR}$，要使小球经水平轨道DE进入竖直圆轨道2，并且能够滑回水平轨道DE，则小球最多上升到与竖直圆轨道2圆心等高处，根据动能定理列式求解．

解答 解：（1）若物块能够通过竖直圆轨道1的最高点，则小物块就能通过两个圆轨道滑出，在竖直圆轨道1的最高点，当重力提供向心力时，速度最小，根据向心力公式得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}=2\sqrt{2}m/s$
从A点到竖直圆轨道1的最高点的过程中，根据动能定理得：
mg（Lsin37°-2R）=$\frac{1}{2}{mv}^{2}$
解得：L=3.33m
所以斜面AB长L至少为3.33m
（2）要使小球经水平轨道DE进入竖直圆轨道2，并且能够滑回水平轨道DE，则小球最多上升到与竖直圆轨道2圆心等高处，
根据动能定理得：
0-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=mg（2R-r）-μmgx_DE…①
设最终停在与E点的距离为x处，则有：
mgr=μmgx…②
由①②解得：x=1m
所以小物块最终可能停在距离E点1m的范围内．
答：（1）斜面AB长L至少为3.33m；
（2）小物块最终可能停在距离E点1m的范围内．

点评 本题综合考查了动能定理和牛顿第二定律，涉及直线运动和圆周运动，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练．