Question

均匀导线制成的单位正方形闭合线框abcd，每边长为L，总电阻为R，总质量为m．将其置于磁感强度为B的水平匀强磁场上方h处，如图所示．线框由静止自由下落，线框平面保持在竖直平面内，且cd边始终与水平的磁场边界平行．重力加速度为g．当cd边刚进入磁场时，
（1）求线框中产生的感应电动势大小；
（2）求cd两点间的电势差大小；
（3）若此时线框加速度大小恰好为g/4，求线框下落的高度h应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）线框先自由下落，由高度h求得速度v，由E=BLv求解感应电动势的大小．
（2）cd两点间的电势差大小等于外电压，等于

3

4

E．
（3）若此时线框加速度恰好为

3

4

g，根据牛顿第二定律求出安培力，由安培力的表达式求出高度，分析加速度方向向下和向上两种情况讨论．

解答：解：（1）设cd边刚进入磁场时，线框的速度为v，由机械能守恒定律得
    mgh=

1

2

mv2
由法拉第电磁感应定律得 E=BLv
综合上述两式解得感应电动势为 E=BL

2gh

（2）由闭合电路欧姆定律得到此时线框中电流
   I=

E

R

cd两点间的电势差
U=I?

3

4

R=

3

4

BL

2gh

（3）由安培力公式得
F=BIL=

B2L2 2gh

R

当a=

1

4

g，方向向下时，根据牛顿第二定律
  mg-F=ma
解得下落高度满足h=

9m2gR2

32B4L4

当a=

1

4

g，方向向上时，根据牛顿第二定律
  F-mg=ma
解得下落高度满足 h=

25m2gR2

32B4L4

答：
（1）线框中产生的感应电动势大小是BL

2gh

；
（2）cd两点间的电势差大小是

3

4

BL

2gh

；
（3）若此时线框加速度大小恰好为a=

1

4

g，当a=

1

4

g，方向向下时，下落高度满足h=

9m2gR2

32B4L4

；当a=

1

4

g，方向向上时，下落高度满足 h=

25m2gR2

32B4L4

．

点评：本题中cd间电势差是路端电压，不是电源的内电压．对于安培力经常用到的经验公式是：F=

B2L2v

R+r

．