Question

6．由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同：若地球表面两极处的重力加速度大小为g₀，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G，地球可视为质量均匀分布的球体．求：
（1）地球半径R；
（2）地球的平均密度；
（3）若地球自转速度加快，当赤道上的物体恰好能“飘”起来时，求地球自转周期T'．

Answer 1

分析 质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力．根据万有引力定律和牛顿第二定律，在赤道的物体所受地球的引力等于其在两极所受的重力联立求解．

解答 解：（1）在地球表面两极为：F_万=mg₀
在赤道处，由牛顿第二定律可得：${F}_{万}-mg=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得：R=$\frac{（{g}_{0}-g）{T}^{2}}{4{π}^{2}}$
（2）在地球表面两极有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$
由密度公式可得：$ρ=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π{g}_{0}}{G{T}^{2}（{g}_{0}-g）}$
（3）赤道上的物体恰好能飘起来，物体受到的万有引力恰好提供向心力，
由牛顿第二定律可得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$=mR$\frac{4{π}^{2}}{T{′}^{2}}$
解得：T′=$\sqrt{\frac{{g}_{0}-g}{{g}_{0}}}T$
答：（1）地球半径$\frac{（{g}_{0}-g）{T}^{2}}{4{π}^{2}}$；
（2）地球的平均密度$\frac{3π{g}_{0}}{G{T}^{2}（{g}_{0}-g）}$；
（3）若地球自转速度加快，当赤道上的物体恰好能“飘”起来时，地球自转周期$\sqrt{\frac{{g}_{0}-g}{{g}_{0}}}T$

点评 解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力，根据万有引力定律和牛顿第二定律，地球近地卫星所受的万有引力提供向心力