题目内容
16．
如图所示，一质量为m=0.5kg，电荷量为q=+0.2C的小物块（可视为质点），放在离地面高度为h=5m的水平放置、厚度不计的绝缘圆盘边缘，并随圆盘一起绕中心转轴顺时针做匀速圆周运动，圆盘的角速度为ω=2rad/s，半径为r=1m，圆盘和小物块之间的动摩擦因数为μ=0.5．以圆盘左侧垂直于纸面的切面和过圆盘圆心O点与空间中A点的竖直平面为界（两平面平行），将空间分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个空间区域，当小物块转动时，Ⅰ区域出现随时间均匀增大的电场E（图中未画出），电场方向是竖直方向．当E增大到E1时，小物块刚好从空间中的A点离开圆盘，且垂直于Ⅰ、Ⅱ区域边界进入Ⅱ区域，此时，Ⅱ区域和Ⅲ区域立即出现一竖直向上的匀强电场E2（图中未画出），E2=25N/C，且Ⅲ区域有一垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场宽度为L=4m，g=10m/s2．求：（1）E1的大小和方向；
（2）若小物块在磁场宽度范围内落地，则磁感应强度B的取值范围是多少？
（3）现将磁感应强度B取某一值，当小物块离开A后一小段时间，紧贴圆盘圆心O点下方以速度v0=$\frac{{\sqrt{73}}}{3}$m/s水平抛出一木制小球，最终两者在磁场宽度范围内的地面上相遇，则从小物块离开A点时开始计时，抛出木制小球的时刻t为多少？
分析 （1）当Ⅰ区域的电场向上时，小物块与圆盘间的最大静摩擦力减小，当其减小到等于向心力时，小物块沿切线方向飞出，根据牛顿第二定律求解．
（2）在Ⅱ、Ⅲ区域，由于E2q=mg，所以小物块先做匀速直线运动，进入Ⅲ区域后，做匀速圆周运动．根据几何知识求出圆周运动的半径范围，即可由牛顿第二定律求解B的范围．
（3）木制小球不受电场力，从圆盘飞出后做平抛运动，由平抛运动的规律求出其运动时间．在Ⅲ区域做匀速圆周运动，由几何知识求出轨道半径和周期，得到小物块做圆周运动转过角度，即可求得时间．
解答 
解：（1）当Ⅰ区域的电场向上时，小物块与圆盘间的最大静摩擦力减小，当其减小到等于向心力时，小物块沿切线方向飞出，所以，E1的方向竖直向上．
由牛顿第二定律有：μ（mg-E1q）=mω2r
代入数据解得：E1=5N/C
（2）在Ⅱ、Ⅲ区域，由于E2q=mg，所以小物块先做匀速直线运动，进入Ⅲ区域后，做匀速圆周运动．
设小物块速度为v，圆周运动的半径为R，则有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
v=ωr
要使其在磁场宽度范围内落地，其轨道如图所示．
设半径的极小值和极大值分别为R1和R2，则有：
R1=$\frac{h}{2}$
R2=L
联立并代入数据解得：1.25T≤B＜2T．
（3）设木制小球落地点为F，运动时间为t1，水平位移为x，A′、O′分别为A、O在地面上的投影，FD的长度为d，则有：
h=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$
x=v0t1；
由几何知识有：x2=（d+r）2+r2
联立并代入数据解得：t1=1s，d=$\frac{5}{3}m$
设小物块整个运动的时间为t2，在Ⅲ区域的运动半径为R3，周期为T，则有：
${R}_{3}^{2}$=$（h-{R}_{3}）^{2}$+d2
解得：R3=$\frac{25}{9}$m
T=$\frac{2π{R}_{3}}{v}$
代入数据解得：T=$\frac{25}{9}$π s
又sin$θ=\frac{d}{{R}_{3}}$，
代入数据得：θ=37°
所以小物块做圆周运动转过角度为：
α=143°
所以：t2=$\frac{143°}{360°}$T+$\frac{r}{v}$
则：t=t2-t1
联立解得：t=$\frac{143}{360}$$•\frac{25}{9}π$-$\frac{1}{2}$≈2.97s
答：
（1）E1的大小为5N/C，方向竖直向上；
（2）若小物块在磁场宽度范围内落地，则磁感应强度B的取值范围是1.25T≤B＜2T．
（3）从小物块离开A点时开始计时，抛出木制小球的时刻t为2.97s．
点评 解决本题的关键是正确分析物块的受力情况同，判断其运动情况，知道圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，以及知道线速度与角速度的大小关系．
名校课堂系列答案
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