Question

13．如图所示，在直角坐标系xoy的第一、四象限区域内存在两个有界的匀强磁场：垂直纸面向外的匀强磁场I、垂直纸面向里的匀强磁场Ⅱ，O、M、P、Q为磁场边界和x轴的交点，OM=MP=L．在第三象限存在沿y轴正向的匀强电场．一质量为m带电量为+q的带电粒子从电场中坐标为（-2L，-L）的点以速度v₀沿+x方向射出，恰好经过原点O处射入区域I又从M点射出区域I．（粒子的重力忽略不计） 
（1）求第三象限匀强电场场强E的大小．
（2）求区域I内匀强磁场磁感应强度B的大小．
（3）如带电粒子能再次回到原点O，区域Ⅱ内磁场的宽度至少为多少？
（4）上述运动中粒子两次经过原点O的时间间隔为多少？

Answer 1

分析 （1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，运用运动的分解法，由牛顿第二定律和运动学公式求解场强E的大小；
（2）带电粒子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动．由题意，粒子经过原点O处射入区域I又从M点射出区域I，画出轨迹，由几何知识求出轨迹半径，由牛顿第二定律即可求得磁感应强度B的大小；
（3）、（4）当带电粒子恰好能再次回到原点O，在磁场Ⅱ中轨迹恰好与其右边界相切，画出轨迹，由几何关系即可求出磁场的宽度．分段求出时间，即可求得总时间．

解答 解：（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，则有
   水平方向：2L=v₀t
   竖直方向：L=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$
联立解得，E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$（2）设粒子到原点时竖直分速度为 v_y
则 v_y=at=$\frac{qE}{m}•\frac{2L}{{v}_{0}}$=v₀
则粒子进入磁场时合速度大小为  v=$\sqrt{2}$v₀，方向与x轴正向成45° 
粒子进入区域Ⅰ做匀速圆周运动，由几何知识可得粒子圆周运动的半径为  R₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L
由洛伦兹力充当向心力，则有 Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
可解得：B=$\frac{mv}{q{R}_{1}}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$
（3）粒子的运动轨迹如图．由图可知粒子在区域Ⅱ做匀速圆周的半径为 R₂=$\sqrt{2}$L
带电粒子能再次回到原点的条件是：
  区域Ⅱ内磁场的宽度 d≥R₂+L=（$\sqrt{2}$+1）L
（4）粒子在场区Ⅰ的运动时间 t₁=$\frac{{T}_{1}}{4}$=$\frac{1}{4}×\frac{2π{R}_{1}}{v}$=$\frac{1}{4}×\frac{2π×\frac{\sqrt{2}}{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{πL}{4{v}_{0}}$
粒子两场间的运动时间 t₂=$\frac{\sqrt{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{L}{{v}_{0}}$
粒子在区域Ⅱ中的运动时间 t₃=$\frac{3}{4}{T}_{2}$=$\frac{3}{4}×\frac{2π{R}_{2}}{v}$=$\frac{3}{4}×\frac{2π×\sqrt{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{3πL}{2{v}_{0}}$ 
总时间为 t_总=2（t₁+t₂）+t₃=$\frac{2（π+1）L}{{v}_{0}}$
答：（1）第三象限匀强电场场强E的大小是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$；
（2）区域I内匀强磁场磁感应强度B的大小是$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$；
（3）如带电粒子能再次回到原点O，区域II内磁场的宽度至少为（$\sqrt{2}$+1）L；
（4）粒子两次经过原点O的时间间隔为$\frac{2（π+1）L}{{v}_{0}}$．

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，注意在磁场中的运动要注意几何关系的应用，在电场中注意由类平抛运动的规律求解．