Question

8．如图甲所示放射源s中的粒子不断飘入（初速度为零）两平行的金属板a、b间，经ab间电场加速后从O点垂直于边界进入b板右侧的匀强磁场中．已知粒子质量为m，带电量为q（q＞0），ab两板间的距离为d，它们之间电压如图乙所示变化，电压最大值为U₀，周期为T=2d$\sqrt{\frac{2m}{q{U}_{0}}}$匀强磁场方向垂直纸面向里的，磁感应强度为B=$\frac{1}{a}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$；不考虑电荷之间库仑力的作用和重力作用．求：

（1）t=0时刻进入加速电场的粒子进入磁场的速度大小；
（2）t=0时刻进入加速电场的粒子在磁场中运动轨道半径r和运动时间t
（3）画出所有粒子在磁场中运动的区域（用阴影线表示），并求出该区域面积大小．

Answer 1

分析 （1）粒子进入电场后做加速运动，由牛顿第二定律和运动学公式求解速度大小
（2）进入磁场后做匀速圆周运动，由洛伦兹力充当向心力得半径，根据周期公式求时间
（3）进入磁场的最小速度对应粒子匀速运动时间最长，则加速时间最短，速度最小，画出粒子运动图象由运动学公式求解面积．

解答 解：（1）粒子进入电场后做加速运动，时间为t，加速度为a，O点速度为V₁
由牛顿第二定律知：a=$\frac{qE}{m}=\frac{q{U}_{0}}{md}$
根据运动学公式：d=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，t=$\sqrt{\frac{2d}{a}}=\frac{T}{2}$
粒子在0.5T时刻出电场
所以V₁=at=$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$
（2）进入磁场后做匀速圆周运动，由洛伦兹力充当向心力得：
${r}_{1}=\frac{m{V}_{1}}{qB}=d$
运动时间${t}_{2}=\frac{{T}_{轨}}{2}=\frac{2πm}{qB}$×$\frac{1}{2}$=$πd\sqrt{\frac{m}{2q{U}_{0}}}$
（3）进入磁场的最小速度为V₂
粒子匀速运动时间最长，则加速时间最短，速度最小
所以最长时间为0.5T，运动位移${S}_{2}={V}_{2}×\frac{T}{2}$
在ab间加速运动位移${S}_{1}=\frac{{V}_{2}^{2}-0}{2a}$
根据题意得d=S₁-S₂
解得：${V}_{2}=（2-\sqrt{2}）\sqrt{\frac{q{U}_{0}}{m}}$
在磁场中的半径${r}_{2}=\frac{m{V}_{2}}{qB}=（\sqrt{2}-1）d$
运动区域如图
面积S=$\frac{1}{2}（π{r}_{1}^{2}-π{r}_{2}^{2}）$=$（\sqrt{2}-1）π{d}^{2}$
答：（1）t=0时刻进入加速电场的粒子进入磁场的速度大小$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$；
（2）t=0时刻进入加速电场的粒子在磁场中运动轨道半径d和运动时间$πd\sqrt{\frac{m}{2q{U}_{0}}}$
（3）该区域面积大小$（\sqrt{2}-1）π{d}^{2}$

点评 本题中粒子先在电场中做加速直线运动，后做匀速圆周运动．由运动学公式或动能定理可求得末速度及时间；而在磁场中做圆周运动，确定圆心和半径为解题的关键