题目内容
19．
有人设想：可以在飞船从运行轨道进入返回地球程序时，借飞船需要减速的机会，发射一个小型太空探测器，从而达到节能的目的．如图所示，飞船在圆轨道Ⅰ上绕地球飞行，其轨道半径为地球半径的3倍．当飞船通过轨道Ⅰ的A点时，飞船上的发射装置短暂工作，将探测器沿飞船原运动方向射出，并使探测器恰能完全脱离地球的引力范围，即到达距地球无限远时的速度恰好为零，而飞船在发射探测器后沿椭圆轨道Ⅱ向前运动，其近地点B到地心的距离近似为地球半径R．以上过程中飞船和探测器的质量均可视为不变．已知地球表面的重力加速度为g．若规定两质点相距无限远时引力势能为零，则质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能为-GMm/r，式中G为引力常量．飞船沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的运动过程，以及探测器被射出后的运动过程中，其动能和引力势能之和保持不变．
（1）若飞船的总质量为M0，求将其送入圆形轨道Ⅰ至少需要消耗多少能量（不考虑地球自转的影响）；
（2）由开普勒第二定律可知，飞船沿椭圆轨道Ⅱ运动过程中，通过A点与B点的速度大小与这两点到地心的距离成反比．若飞船与探测器的质量之比为2：1，则探测器完全脱离地球的引力后，继续做宇宙航行的速度多大？
分析 （1）将其送入圆形轨道Ⅰ至少需要消耗的能量转化为其动能和势能，分别计算在轨道1上时的动能和势能，求和即得结果，
（2）飞船沿椭圆轨道Ⅱ运动过程中，通过A点与B点的速度大小与这两点到地心的距离成反比，再由质量之比和动量定理求解分离速度，结合能量守恒计算飞船最后的速度．
解答 解：（1）飞船的总质量为M0，在轨道1上运行时，由万有引力提供向心力得：$G\frac{{M}_{0}{M}_{地}}{（{3R）}^{2}}={M}_{0}\frac{{v}_{0}^{2}}{3R}$，解得：${v}_{0}^{2}=\frac{G{M}_{地}}{3R}=\frac{g{R}^{2}}{3R}=\frac{gR}{3}$，此时的动能：$△{E}_{K}=\frac{1}{2}{M}_{0}{v}_{0}^{2}=\frac{1}{6}{M}_{0}gR$
若规定两质点相距无限远时引力势能为零，则质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能为-GMm/r，可知，飞船在A点时的势能：${E}_{PA}=-\frac{G{M}_{0}{M}_{地}}{3R}=-\frac{1}{3}{M}_{0}gR$同理：在B点的势能：${E}_{PB}=-\frac{G{M}_{0}{M}_{地}}{R}=-{M}_{0}gR$，则A到B变化的势能为：$△{E}_{P}=-\frac{1}{3}{M}_{0}gR+{M}_{0}Rg=\frac{2}{3}{M}_{0}gR$，故将其送入圆形轨道Ⅰ至少需要消耗的能量为：$E=△{E}_{K}+△{E}_{P}=\frac{5}{6}{M}_{0}gR$
（2）设发射探测器后飞船在A点的速度为vA，运动到B点的速度为vB，飞船质量为m1，飞行器的质量为m2，因其运动过程中动能和引力势能之和保持不变，所以有$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{A}^{2}-\frac{GM{m}_{1}}{3R}=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{B}^{2}-\frac{GM{m}_{1}}{R}$①，因飞船通过A点与B点的速度大小与这两点到地心的距离成反比，即RvB=3RvA②，联立①②，结合gR2=GM，解得：${v}_{A}=\sqrt{\frac{1}{6}gR}$，
对于飞船发射探测器的过程，根据动量守恒定律有 （m1+m2）v0=m1vA+m2v'，又因为：m1：m2=2：1，解得：$v′=\sqrt{3gR}-\sqrt{\frac{2}{3}gR}$
则探测器完全脱离地球的引力后，继续做宇宙航行的速度为v，因其运动过程中动能和引力势能之和保持不变，所以探测器刚好脱离地球引力势能为零应满足：$\frac{1}{2}{m}_{2}v{′}^{2}-\frac{GM{m}_{2}}{3R}=\frac{1}{2}{m}_{2}{v}^{2}$，解得：$v=\sqrt{（3-2\sqrt{2}）gR}$；
答：（1）将其送入圆形轨道Ⅰ至少需要消耗能量为$\frac{5}{6}{M}_{0}gR$；
（2）探测器完全脱离地球的引力后，继续做宇宙航行的速度为$\sqrt{（3-2\sqrt{2}）gR}$；
点评 本题第1问需要明确消耗的能量转化为其动能和势能，第二问中通过飞船的能量守恒和整体的动量定理的应用，求解分离速度，关键在于探测器完全脱离地球的引力后，继续做宇宙航行时的势能为零，利用能量守恒求解即可．
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如图所示，电路中电源的电动势为E、内电阻为r，开关S闭合后，当滑动变阻器的滑片P从滑动变阻器R的中点位置向左滑动时，小灯泡L1、L2、L3的亮度变化情况（ ）| A． | L1、L3两灯都变亮，L2灯变暗 | B． | L1、L3两灯都变暗，L2灯变亮 | ||
| C． | L1、L2两灯都变亮，L3灯变暗 | D． | L1、L2两灯都变暗，L3灯变亮 |
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| B． | 这条船能够过河的最小位移为30m | |
| C． | 这条船可以渡过这条河，而且过河时相对于河岸的速度一定是5m/s | |
| D． | 这条船过河时间不可能小于10 s |
做难机械能守恒定律的实验，某同学借助频闪仪拍摄了如图所示小钢球从高处落下过程中的频闪照片，频闪仪每隔0.10s闪光一次，图中所标数据是相邻两闪光时间内小钢球下落的距离，若已经测得小钢球质量m=0.100kg，重力加速度取9.80m/s2．| A． | 用透明的标准平面样板检查光学平面的平整程度是利用光的干涉现象 | |
| B． | 用三棱镜观察白光看到的彩色图样是利用光的衍射现象 | |
| C． | 在光导纤维束内传送图象是利用光的色散现象 | |
| D． | 光学镜头上的增透膜是利用光的偏振现象 |
| A． | 行星受太阳的引力为F=k$\frac{m}{{r}^{2}}$ | B． | 行星受太阳的引力都相同 | ||
| C． | 行星受太阳的引力F=4π2k$\frac{m}{{r}^{2}}$ |
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