Question

如图所示，质量为m、电荷量为e的电子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为v₀．现在某一区域内加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与y轴平行的荧光屏MN上，求：
（1）电子从y轴穿过的范围；
（2）荧光屏上光斑的长度；
（3）所加磁场范围的最小面积．

Answer 1

分析：（1）从第一象限射入的电子，速度的大小相同，速度的方向（与x轴的正方向）分布在0°到90°的范围内，沿x轴正方向射入的电子的偏转角最大，经过y轴上的点距O点最远．经分析可知，此距离为电子运动轨迹半径的2倍．
（2）做出平行于x轴入射的电子轨迹和垂直于x轴入射的电子的轨迹，两个电子的运动半径相同，通过几何关系可知电子打到荧光屏MN上的长度等于轨迹的半径．
（3）结合平行于x轴射入的电子和垂直于x轴方向射入的电子的轨迹，集合几何关系可得知磁场最小面积时的图形，从而可得出最小面积．

解答：解：（1）设粒子在磁场中运动的半径为R，由牛顿第二定律得：
ev0B=m

v 2 0

R

即：R=

mv0

eB

电子从y轴穿过的范围为：
OM=2R=2

mv0

eB

（2）如图所示，初速度沿x轴正方向的电子沿弧OA运动到荧光屏MN上的P点；初速度沿y轴正方向的电子沿弧OC运动到荧光屏MN上的Q点；由几何知识可得：
PQ=R=

mv0

eB

（3）取与x轴正方向成θ角的方向射入的电子为研究对象，其射出磁场的点为E（x，y），因其射出后能垂直打到屏MN上，故有：
x=-Rsinθ
y=R+Rcosθ
即：x²+（y-R）²=R²
又因为电子沿x轴正方向射入时，射出的边界点为A点；沿y轴正方向射入时，射出的边界点为C点，故所加最小面积的磁场的边界是以（0，R）为圆心、R为半径的圆的一部分，如图中实线圆弧所围区域，所以磁场范围的最小面积为：
S=

3

4

πR2+R2-

1

4

πR2=(

π

2

+1)(

mv0

eB

)2
答：（1）电子从 y轴穿过的范围为2

mv0

eB

；
（2）荧光屏上光斑的长度为

mv0

eB

；
（3）所加磁场范围的最小面积为(

π

2

+1)(

mv0

eB

)2．

点评：该题在审题时要关注以下两点：
（1）从第一象限射入的电子，速度的大小相同，速度的方向（与x轴的正方向）分布在0°到90°的范围内．
（2）电子穿过磁场后都能垂直地射到MN光屏上，要利用好“垂直”这个条件．
巧解带电粒子在有界磁场中运动问题：
（1）分析思路三步走：①确定圆心，画出轨迹； ②找几何关系，定物理量； ③画动态图，定临界状态．
（2）分析方法四优法：①几何对称法：粒子的运动轨迹关于入射点和出射点的中垂线对称．②动态放缩法：速度越大半径越大，但速度方向不变的粒子圆心在垂直速度方向的直线上．③旋转平移法：定点粒子源发射速度大小相等、方向不同的所有粒子的轨迹圆圆心在以入射点为圆心，半径R=

mv0

qB

的圆上，相当于将一个定圆以入射点为圆心旋转．④数学解析法：写出轨迹圆和圆形边界的解析方程，应用物理和数学知识求解．