Question

2．一块质量为M的长木板，静止在光滑水平桌面上，一个质量为m的小滑块以水平速度v₀从长木板的一端开始在木板上滑动，直到离开木板，滑块刚离开木板时的速度为$\frac{{v}_{0}}{5}$，．若把该木板固定在水平桌面上，其它条件相同．求：
（1）求滑块离开木板时的速度；
（2）若已知滑块和木板之间的动摩擦因数μ，求木板的长度．

Answer 1

分析 （1）木板不固定时，根据动量守恒和功能定理求得克服摩擦力做的功，当木板固定时，根据动能定理求得滑块离开木板时的速度；
（2）由动能定理对木板和滑块分别研究列出等式，再研究当板固定时运用动能定理求解滑块离开木板时的速度；应用动量守恒和运动学公式求位移

解答 解：（1）当木板不固定时，取初速度方向为正方向根据系统动量守恒有：
$m{v}_{0}=m\frac{{v}_{0}}{5}+Mv$…①
令木板长度为L，根据此过程中的功能关系有：
$μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}M{v}^{2}-\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{0}}{5}）^{2}$…②
当长木板固定时，对m由动能定理有：
$-μmgL=\frac{1}{2}m{v}_{x}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…③
联列①②③式解得：
v_x=$\frac{{v}_{0}}{5}\sqrt{1+\frac{16m}{M}}$
（2）由（1）问中①②两式可解得：
L=$\frac{{v}_{0}^{2}}{25μg}（12-\frac{8m}{M}）$
答：（1）滑块离开木板时的速度为$\frac{{v}_{0}}{5}\sqrt{1+\frac{16m}{M}}$；
（2）若已知滑块和木板之间的动摩擦因数μ，木板的长度为$\frac{{v}_{0}^{2}}{25μg}（12-\frac{8m}{M}）$．

点评 解决本题的关键是抓住木板不固定时动量守恒，掌握功能关系抓住能量这一不变量列式求解是关键，中等难度．