Question

9．如图所示，两根固定在水平面上的光滑平行金属导轨MN和PQ，一端接有阻值为R的电阻，处于方向竖直向下的匀强磁场中．在导轨上垂直导轨跨放质量为m的金属直杆，金属杆的电阻为r，金属杆与导轨接触良好、导轨足够长且电阻不计．金属杆在垂直于杆的水平恒力F作用下向右匀速运动时，电阻R上消耗的电功率为P，从某一时刻开始撤去水平恒力F去水平力后：
（1）当电阻R上消耗的功率为$\frac{P}{4}$时，金属杆的加速度大小和方向．
（2）电阻R上产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）当电阻R上消耗的功率为$\frac{P}{4}$时，金属杆所受安培力提供加速度，根据安培力公式，功率关系以及牛顿第二定律可求解加速度．
（2）根据匀速运动拉力功率和电功率相等关系，可求解速度，再根据能量守恒定律可求解电阻R上产生的焦耳热．

解答 解析：（1）撤去F之前，属杆在垂直于杆的水平恒力F作用下向右匀速运动时设通过电阻R的电流为I，由平衡则金属杆受到的安培力为：
F_安=BIL=F．
撤去F之后，由功率公式P=I²R知，当电阻R上消耗的电功率为$\frac{P}{4}$时，通过R的电流为：I'=$\frac{I}{2}$，
金属杆受到的安培力为：F’_安=BI'L=$\frac{F}{2}$，方向水平向左，
由牛顿第二定律得：F′_安=ma，
可解得金属杆的加速度大小为：$a=\frac{F}{2m}$，方向水平向左．
（2）撤去F后，金属杆在与速度方向相反的安培力作用下，做减速运动直到停下．设匀速运动时金属杆的速度为v，拉力与电路电热功率相等则有：
I²（R+r）=Fv，
又P=I²R，
解得：$v=\frac{P（R+r）}{RF}$
由能量守恒可得，撤去F后，整个电路产生的热量为：$Q=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{m{P}^{2}（r+R）^{2}}{2{R}^{2}{F}^{2}}$
则电阻R上产生的焦耳热为：$Q′=\frac{R}{R+r}Q=\frac{m{P}^{2}（R+r）}{2{F}^{2}R}$
答：（1）当电阻R上消耗的功率为$\frac{P}{4}$时，金属杆的加速度大小为$a=\frac{F}{2m}$，方向水平向左．
（2）电阻R上产生的焦耳热为 $Q′=\frac{R}{R+r}Q=\frac{m{P}^{2}（R+r）}{2{F}^{2}R}$．

点评 导体棒切割磁感线匀速运动时，拉力与安培力平衡，两个力功率相等，安培力功率等于电功率；导体棒与电阻串联通过的电流相等，则产生的焦耳热与电阻成正比．