Question

4．己知地球和月球的质量分别为M和m，半径分别为R和r．则在地球表面和月球表面的重力加速度之比为$\frac{M{r}_{\;}^{2}}{m{R}_{\;}^{2}}$，地球和月球的第一宇宙速度之比为$\sqrt{\frac{Mr}{mR}}$．

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力表示出g，再求出比值；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，也是最大的圆周运动的环绕速度．

解答 解：根据万有引力等于重力，有$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$
$\frac{{g}_{地}^{\;}}{{g}_{月}^{\;}}=\frac{G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}}{G\frac{m}{{r}_{\;}^{2}}}=\frac{M{r}_{\;}^{2}}{m{R}_{\;}^{2}}$
第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，即$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
$\frac{{v}_{地}^{\;}}{{v}_{月}^{\;}}=\frac{\sqrt{\frac{GM}{R}}}{\sqrt{\frac{Gm}{r}}}$=$\sqrt{\frac{Mr}{mR}}$
故答案为：$\frac{M{r}_{\;}^{2}}{m{R}_{\;}^{2}}$，$\sqrt{\frac{Mr}{mR}}$

点评 解决本题的关键是知道第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，在任意一个星球表面物体重力等于万有引力即可求解星球表面的重力加速度．