Question

17．如图所示，在x轴上方存在着匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里；在x轴下方存在匀强电场，方向竖直向上．一个质量为m，电荷量为q，重力不计的带正电粒子从y轴上的a（0，h）点沿y轴正方向以某一初速度开始运动，一段时间后，粒子速度方向与x轴正方向成45°进入电场，经过y轴上的b点时速度方向恰好与y轴垂直．求：
（1）粒子在磁场中运动的轨道半径r和速度大小v₁；
（2）匀强电场的电场强度大小E；
（3）粒子从开始运动到第三次经过x轴的时间t₀．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出粒子在复合场中的运动轨迹，根据几何关系及洛伦兹力提供向心力求解即可；
（2）粒子第一次经过x轴的位置后做类平抛运动，根据平抛运动的基本公式以及几何关系结合动能定理求解；
（3）分别求出粒子第一次经过x轴的时间、在电场中运动的时间以及第二次经过x轴到第三次经过x轴的时间，三者之和即为所求时间．

解答 解：（1）根据题意可大体画出粒子在复合场中的运动轨迹如图所示，由几何关系可得，
rcos45°=h…①
即r=$\sqrt{2}h$…②
$q{v}_{1}B=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{r}$…③
解得${v}_{1}=\frac{qBr}{m}=\frac{\sqrt{2}qBh}{m}$…④
（2）粒子第一次经过x轴的位置为x₁，到达b点速度大小为v_b
粒子做类平抛运动，有：
v_b=v₁cos45°    …⑤
所以${v}_{b}=\frac{qBh}{m}$        …⑥
设粒子进入电场经过时间t运动到b点，b点的纵坐标为-y_b，
由类平抛运动得     r+rsin45°=v_bt        …⑦
${y}_{b}=\frac{1}{2}（{v}_{1}sin45°+0）t=\frac{\sqrt{2}+1}{2}h$，…⑧
由动能定理：$-qE{y}_{b}=\frac{1}{2}m{{v}_{b}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$  …⑨
所以E=$\frac{（\sqrt{2}-1）qh{B}^{2}}{m}$      …⑩
（3）粒子在磁场中的周期为：T=$\frac{2πr}{{v}_{1}}=\frac{2πm}{qB}$     …⑪
第一次经过x轴的时间为：${t}_{1}=\frac{5}{8}T=\frac{5πm}{4qB}$            …⑫
在电场中运动的时间为：${t}_{2}=2t=\frac{2（\sqrt{2}+1）m}{qB}$       …⑬
在第二次经过x轴到第三次经过x轴的时间为：${t}_{3}=\frac{3}{4}T=\frac{3πm}{2qB}$  …⑭
所以总时间为：t₀=t₁+t₂+t₃=$（\frac{11π}{4}+2\sqrt{2}+2）\frac{m}{qB}$．
答：（1）粒子在磁场中运动的轨道半径为$\sqrt{2}h$，和速度大小v为$\frac{\sqrt{2}qBh}{m}$；
（2）匀强电场的电场强度大小E为$\frac{（\sqrt{2}-1）qh{B}^{2}}{m}$；
（3）粒子从开始运动到第三次经过x轴的时间t₀为$（\frac{11π}{4}+2\sqrt{2}+2）\frac{m}{qB}$．

点评 本题考查带电粒子在电场、磁场中两运动模型：匀速圆周运动与类平抛运动，及相关的综合分析能力，以及空间想像的能力，应用数学知识解决物理问题的能力．