Question

光滑水平轨道与半径为R的光滑半圆形轨道在B处连接，一质量为m₂的小球静止在B处，而质量为m₁的小球则以初速度v₀向右运动，当地重力加速度为g，当m₁与m₂发生弹性碰撞后，m₂将沿光滑圆形轨道上升，问：
（1）当m₁与m₂发生弹性碰撞后，m₂的速度大小是多少？
（2）当m₁与m₂满足m₂=km₁（k＞0），半圆的半径R取何值时，小球m₂通过最高点C后，落地点距离B点最远．

Answer 1

（1）以两球组成的系统为研究对象，
由动量守恒定律得：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂，
由机械能守恒定律得：

1

2

m₁v₀²=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²，
解得：v₂=

2m1v0

m1+m2

；
（2）小球m₂从B点到达C点的过程中，
由动能定理可得：-m₂g×2R=

1

2

m₂v₂′²-

1

2

m₂v₂²，
解得：v₂′=

v 22 -4gR

=

( 2m1v0 m1+m2 )2-4gR

=

( 2v0 1+k )2-4gR

；
小球m₂通过最高点C后，做平抛运动，
竖直方向：2R=

1

2

gt²，
水平方向：s=v₂′t，
解得：s=

( 2v0 1+k )2 4R g -16R2

，
由一元二次函数规律可知，
当R=

v 20

2g(1+k)2

时小m₂落地点距B最远．
答：（1）m₂的速度大小是

2m1v0

m1+m2

；
（2）半圆的半径R=

v 20

2g(1+k)2

时，小球m₂通过最高点C后，落地点距离B点最远．