题目内容
如图所示，足够长光滑水平轨道与半径为R的光滑四分之一圆弧轨道相切．现从圆弧轨道的最高点由静止释放一质量为m的弹性小球A，当A球刚好运动到圆弧轨道的最低点时，与静止在该点的另一弹性小球B发生没有机械能损失的碰撞．已知B球的质量是A球质量的k倍，且两球均可看成质点．（1）若碰撞结束的瞬间，A球对圆弧轨道最低点压力刚好等于碰前其压力的一半，求k的可能取值：
（2）若k已知且等于某一适当的值时，A、B两球在水平轨道上经过多次没有机械能损失的碰撞后，最终恰好以相同的速度沿水平轨道运动．求此种情况下最后一次碰撞A球对B球的冲量．
分析：（1）小球A沿圆弧滚下过程机械能守恒，受到的重力和支持力的合力提供向心力；碰撞过程系统机械能守恒，同时系统动量守恒，小球A、B受到的重力和支持力的合力均提供向心力；
（2）对碰撞过程运用机械能守恒定律列式，同时根据结合动量守恒定律列式，求出碰撞前后的速度，最后根据动量定理球最后一次碰撞A球对B球的冲量．
（2）对碰撞过程运用机械能守恒定律列式，同时根据结合动量守恒定律列式，求出碰撞前后的速度，最后根据动量定理球最后一次碰撞A球对B球的冲量．
解答：解：（1）设A球到达圆弧轨道最低点时速度为v0，则由机械能守恒定律，有：
m
=mgR…（1）
设此时A球对轨道压力为N，则：
N-mg=m
…（2）
设碰撞后A球的速度大小为v1，对轨道的压力为N1，B球的速度为v2，则由动量守恒定律，有：
mv0=kmv2±mv1…（3）
机械能守恒，有
m
=
m
+
km
…（4）
碰撞后，在最低点，有
N1-mg=m
…（5）
根据已知条件，有
N1=
N…（6）
代入数值解上述方程组可得：
k=3 或k=
…（7）
即若碰撞结束的瞬间，A球对圆弧轨道最低点压力刚好等于碰前其压力的一半，求k为3或
．
（2）设最终两球的速度大小为v，根据机械能守恒可得：
mgR=
m
+
kmv2…（8）
最后一次碰撞前A、B两球的速度分别为vA、vB，则由机械能守恒和动量守恒定律，得到：
mvA+kmvB=kmv-mv…（9）
m
+
km
=
m
+
km
…（10）
设最后一次碰撞A对B的冲量为I，根据动量定理得：
I=kmv-km
…（11）
解上述方程组可得：I=
…（12）
故最后一次碰撞A球对B球的冲量为
．
| 1 |
| 2 |
| v | 2 0 |
设此时A球对轨道压力为N，则：
N-mg=m
| ||
| R |
设碰撞后A球的速度大小为v1，对轨道的压力为N1，B球的速度为v2，则由动量守恒定律，有：
mv0=kmv2±mv1…（3）
机械能守恒，有
| 1 |
| 2 |
| v | 2 0 |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 1 |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 2 |
碰撞后，在最低点，有
N1-mg=m
| ||
| R |
根据已知条件，有
N1=
| 1 |
| 2 |
代入数值解上述方程组可得：
k=3 或k=
| 1 |
| 3 |
即若碰撞结束的瞬间，A球对圆弧轨道最低点压力刚好等于碰前其压力的一半，求k为3或
| 1 |
| 3 |
（2）设最终两球的速度大小为v，根据机械能守恒可得：
mgR=
| 1 |
| 2 |
| v | 2 |
| 1 |
| 2 |
最后一次碰撞前A、B两球的速度分别为vA、vB，则由机械能守恒和动量守恒定律，得到：
mvA+kmvB=kmv-mv…（9）
| 1 |
| 2 |
| v | 2 A |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 B |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 |
| 1 |
| 2 |
| v | 2 |
设最后一次碰撞A对B的冲量为I，根据动量定理得：
I=kmv-km
| v | B |
解上述方程组可得：I=
| 4km |
| k+1 |
|
故最后一次碰撞A球对B球的冲量为
| 4km |
| k+1 |
|
点评：本题关键是碰撞前A球机械能守恒，碰撞过程两球系统机械能守恒，动量也守恒，同时根据动量定理列式求解．
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