Question

15．如图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端固定在地面上，上端与一质量为m的小球相连且处于静止状态．现用力F将小球缓慢上移，直到弹簧恢复原长．然后撤掉该力，小球从静止开始下落．已知弹簧的弹性势能E_P与形变量x的关系为E_P=$\frac{1}{2}$kx²，（不计空气阻力，重力加速度为g）求：
（1）小球缓慢上移过程中，F力做的功
（2）撤掉力F后，小球从静止下落的最大速度v？
（3）弹簧弹性势能最大时，小球的加速度a．

Answer 1

分析 （1）由做功表达式，结合胡克定律，由平均力做功，即可求解；
（2）根据动能定理，选取研究过程，即可求解最大速度；
（3）当弹性势能最大时，速度为零，根据动能定理求出弹簧的压缩量，再根据牛顿第二定律求解加速度．

解答 解：（1）球处于平衡位置时，则有：mg=kx；小球缓慢上移过程中，拉力是变力，取平均值，根据做功表达式，则有：W=$\frac{mg}{2}•\frac{mg}{k}=\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{2k}$，
（2）速度最大时，弹力与重力相等，加速度为零，小球从静止下落到最大速度的过程中，根据动能定理，
则有：mg•$\frac{mg}{k}$-$\frac{1}{2}k（\frac{mg}{k}）^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{m{g}^{2}}{k}}$，
（3）弹性势能最大时，速度为零，根据动能定理得：
0-0=mgs-$\frac{1}{2}k{s}^{2}$
解得：s=$\frac{2mg}{k}$
根据牛顿第二定律得：
a=$\frac{ks-mg}{m}=g$
答：（1）小球缓慢上移过程中，F力做的功为$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{2k}$；
（2）撤掉力F后，小球从静止下落的最大速度v为$\sqrt{\frac{m{g}^{2}}{k}}$；
（3）弹簧弹性势能最大时，小球的加速度a为g．

点评 考查做功表达式，掌握变力做功的求法，理解动能定理的应用，注意力做功的正负，知道弹性势能最大时，速度为零，速度最大时，加速度为零，弹力与重力相等．