Question

6．一根轻质细绳绕过轻质定滑轮，右边穿上质量M=3kg的物块A，左边穿过长为L=2m的固定细管后下端系着质量m=1kg的小物块B，物块B距细管下端h=0.4m处，已知物块B通过细管时与管内壁间的滑动摩擦力F₁=10N，当绳中拉力超过F₂=18N时物块A与绳之间就会出现相对滑动，且绳与A间的摩擦力恒为18N，开始时A、B均静止，绳处于拉直状态，同时释放A和B，不计滑轮与轴之间的摩擦，g=10m/s²，求：
（1）刚释放A、B时绳中的拉力；
（2）B在管中上升的高度以及B上升过程中A、B组成的系统损失的机械能；
（3）若其他条件不变，增大A的质量，试通过计算说明B能否穿越细管．

Answer 1

分析 （1）分别对A和B进行受力分析，结合牛顿第二定律即可求出加速度和绳子的拉力；
（2）B先做加速运动，由运动学的公式求出B进入管子前的速度；之后B做减速运动，分别对A与B进行受力分析，求出加速度和位移，最后结合功能关系即可求出；
（3）随着A的质量增大，B的加速度也增大，通过受力分析即可求出二者的加速度，找出临界条件，然后分析B是否穿过细管．

解答 解：（1）释放后，设绳子的拉力为T，根据牛顿第二定律有：
对A：Mg-T=Ma   
对B：T-mg=ma
联立并代入数据得：a=5m/s²     T=15N 
（2）B刚进入管中时，此时B速度设为v₀，则：${v}_{0}^{2}$=2ah
所以：v₀=2m/s
由题意知，B作减速运动，A相对于绳出现滑动，设绳子与A之间的摩擦力是F_m．
对B：mg+F₁-F_m=ma₁
可得 a₁=2m/s²
对A：Mg-F_m=Ma₂
得：a₂=4m/s² 
则B在管中上升的高度 h′=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{{2}^{2}}{2×2}$=1m
所用时间 t=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{2}$=1s
A下降的位移 x_A=v₀t+$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$=2×1+$\frac{1}{2}×4×{1}^{2}$=4m
B上升过程中A、B组成的系统损失的机械能△E=F₁h′+F_m（x_A-h′）=10×1+18×（4-1）=64J 
（3）随着A的质量增大，B的加速度也增大，A、B出现相对滑动时，
对A  Mg-F₂=Ma_m
对B  F_m-mg=ma_m
得 a_m=8m/s²
M=9kg即A的质量为9kg时A、B出现相对滑动
即A的质量为9kg时A、B出现相对滑动，B进入管中最大速度，设为v_m．则 ${v}_{m}^{2}$=2a_mh
B进入管中运动距离为：h_m=$\frac{{v}_{m}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{2{a}_{m}h}{2{a}_{1}}$=$\frac{8×0.4}{2}$m=1.6m＜2m，故不能穿过细管．
答：（1）刚释放A、B时绳中的拉力是15N；
（2）B在管中上升的高度及B上升过程中A、B组成的系统损失的机械能是64J；
（3）B不能穿越细管．

点评 本题考查功能关系以及牛顿第二定律的应用，解决本题的关键理清物体的运动情况，运用牛顿第二定律和运动学公式进行求解．