Question

12．汽车若在起伏不平的公路上行驶时，应控制车速，以避免造成危险．如图所示为起伏不平的公路简化的模型图：设公路为若干段半径r为50m的圆弧相切连接，其中A、C为最高点，B、D为最低点，一质量为2000kg的汽车（作质点处理）行驶在公路上，（g=10m/s²）试求：
（1）当汽车保持大小为20m/s的速度在公路上行驶时，路面的最高点和最低点受到压力各为多大
（2）速度为多大时可使汽车在最高点对公路的压力为零
（3）简要回答为什么汽车通过拱形桥面时，速度不宜太大．

Answer 1

分析 （1）汽车在路面的最高点和最低点时均由重力和支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求得支持力，从而得到压力．
（2）汽车在最高点对公路的压力为零时，仅由重力提供向心力，再由牛顿第二定律求速度．
（3）速度太大时，车与地面的摩擦力明显减小甚至为0，会给汽车刹车和转弯带来困难，甚至可能使汽车腾空抛出．

解答 解：（1）以汽车为研究对象，根据牛顿第二定律有：
最高点：$mg-{F_1}=m\frac{v^2}{r}$，
得：${F_1}=mg-m\frac{v^2}{r}=4000N$
由牛顿第三定律知，汽车对路面的压力 F₁′=F₁=4000N
最低点：${F_2}-mg=m\frac{v^2}{r}$，
得：${F_2}=mg+m\frac{v^2}{r}=36000N$
由牛顿第三定律知，汽车对路面的压力 F₂′=F₂=36000N
（2）汽车在最高点对公路的压力为零时，由mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：
$v=\sqrt{gr}=22.4m/s$
（3）若速度太大，则车对地面的压力明显减小甚至为0，则车与地面的摩擦力明显减小甚至为0，会给汽车刹车和转弯带来困难，甚至可能使汽车腾空抛出．
答：（1）当汽车保持大小为20m/s的速度在公路上行驶时，路面的最高点和最低点受到压力各为4000N和36000N．
（2）速度为22.4m/s时可使汽车在最高点对公路的压力为零．
（3）若速度太大，则车对地面的压力明显减小甚至为0，则车与地面的摩擦力明显减小甚至为0，会给汽车刹车和转弯带来困难，甚至可能使汽车腾空抛出．

点评 解决本题的关键知道汽车做圆周运动时向心力的来源：指向圆心的合力，结合牛顿第二定律进行求解．