Question

装有细砂的木箱在水平轨道上向右滑行，木箱和细砂的总质量为M，木箱与轨道间动摩擦因数为μ．一排人站在O点右侧的水平轨道旁，O点与第一个人以及每相邻的两个人之间的距离都是L，如图所示．当木箱经过一人身旁时，此人就一质量为m的沙袋沿竖直方向投入到木箱内，已知M=4m，不计沙袋在空中的运动时间，且沙袋与木箱瞬间就获得共同速度．木箱停止运动时，箱内一共有两个沙袋．求木箱通过O点时速度v₀的范围．

Answer 1

分析：木箱由O点滑行到第一个人的过程中，由动能定理得到木箱滑行到第一个人速度的表达式．第一个人将沙袋竖直投入木箱内，系统水平方向动量守恒，即可由动量守恒得到沙袋投入木箱后共同速度表达式．木箱由第一个人滑行到第二个人的过程中，运用动能定理得到木箱滑行到第二个人速度的表达式．第二个人将沙袋投入木箱，由动量守恒
得到共同速度，要使v₀最小时，此速度为0，即可求得 v₀最小值．同理得到木箱滑行到第三个人时速度表达式，当此速度为零，v₀最大，求出最大值，即可得解．

解答：解：木箱由O点滑行到第一个人的过程中，由动能定理
-μMgL=

1

2

M

v

2 1

-

1

2

M

v

2 0

  ①
 第一个人将沙袋投入木箱，由动量守恒  
  Mv₁=（M+m）

v

′ 1

   ②
木箱由第一个人滑行到第二个人的过程中，由动能定理
-μ（M+m）gL=

1

2

(M+m)

v

2 2

-

1

2

(M+m)v1′² ③
 第二个人将沙袋投入木箱，由动量守恒
 （M+m）v₂=（M+2m）v₂′④
当v₀最小时，v₂=0   ⑤
由①②③可得v₀=

82μgL

4

  ⑥
木箱由第二个人滑行到第三个人的过程中，由动能定理
-μ（M+2m）gL=

1

2

（M+2m）v₃²-=

1

2

（M+2m）v₂^′2  ⑦
当v₀最大时，v₃=0   ⑧
由①②③④⑦可得v₃=

154μgL

4

     ⑨
所以木箱在O点的速度范围

82μgL

4

＜v₀＜

154μgL

4

⑩
答：
木箱通过O点时速度v₀的范围为

82μgL

4

＜v₀＜

154μgL

4

．

点评：本题采用归纳法研究物理过程，根据动能定理和动量守恒进行研究，要总结规律，得到速度最小和最大的条件进行求解．