Question

17．如图所示，在MN下方存在竖立向上的匀强电场，Ⅰ、Ⅱ区域存在方向相反的匀强磁场，已知Ⅰ区域的磁感应强度大小为B₁，方向垂直纸面向里，PQ为绝缘薄板且为两磁场的理想边界，C、D为板上两个小孔，AO为CD的中垂线，交点为A，O为I磁场区域的上边界MN与AO的交点．质量为m、电量为q的带电小球从O点正上方高为h的某点由静止开始下落，进入Ⅰ区域后，恰能做匀速圆周运动，已知重力加速度为g．
（1）试判断小球的电性并求出电场强度E的大小；
（2）若带电小球恰能从C孔沿与PQ成30°角进入Ⅱ区域，求Ⅰ区域的磁场宽度d和C、A间的距离L；
（3）若带电小球从C孔进入区域Ⅱ后，恰好从D孔返回Ⅰ区域，求Ⅱ区域的磁感应强度B₂的大小（用B₁表示）和带电小球自O点进入磁场到第一次回到O点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）带电小球进入复合场后，做匀速圆周运动，知电场力和重力平衡，洛伦兹力提供向心力，根据平衡得出粒子的电性以及求出电场强度的大小．
（2）根据机械能守恒定律求出粒子进入磁场前的速度，结合半径公式和几何关系求出Ⅰ区域的磁场宽度d和C、A间的距离L；
（3）作出粒子的运动轨迹图，结合周期公式，以及几何关系求出带电小球自O点进入磁场到第一次回到O点所用的时间．

解答 解：（1）带电小球进入复合场后，恰能做匀速圆周运动，合力为洛伦兹力，重力与电场力平衡，重力竖直向下，电场力竖直向上，即小球带正电．
由qE=mg，
解得：E=$\frac{mg}{q}$．
（2）带电小球在进入磁场前做自由落体运动，由机械能守恒得：$mgh=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
带电小球在Ⅰ区域内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有：$qv{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，
由几何关系得：d=R₁sin60°，L=R₁（1-cos60°），
解得：d=$\frac{m\sqrt{6gh}}{2q{B}_{1}}$，L=$\frac{{R}_{1}}{2}=\frac{m\sqrt{2gh}}{2q{B}_{1}}$．
（3）带电小球在Ⅱ区域内做匀速圆周运动，有：$qv{B}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$，
由几何关系得，R₂=2L=R₁，
解得：B₂=B₁，
带电小球在Ⅰ、Ⅱ区域内的运动周期为：${T}_{1}={T}_{2}=\frac{2π{R}_{2}}{v}$，
带电小球在Ⅰ、Ⅱ区域内的运动的总时间为：t=$2×\frac{{T}_{1}}{6}+\frac{5}{6}{T}_{2}=\frac{7}{6}{T}_{2}$．
解得：t=$\frac{7πm}{3q{B}_{1}}$．
答：（1）小球带正电，电场强度为$\frac{mg}{q}$．
（2）Ⅰ区域的磁场宽度为$\frac{m\sqrt{6gh}}{2q{B}_{1}}$，C、A间的距离为$\frac{m\sqrt{2gh}}{2q{B}_{1}}$．
（3）Ⅱ区域的磁感应强度B₂的大小为B₁，带电小球自O点进入磁场到第一次回到O点所用的时间为$\frac{7πm}{3q{B}_{1}}$．

点评 本题考查了带电小球在磁场中的运动，分析清楚小球的运动过程，作出小球的运动轨迹、应用机械能守恒定律、牛顿第二定律、功的计算公式即可正确解题；分析清楚运动过程、作出小球运动轨迹是正确解题的关键．