Question

6．如图所示，折射率n=$\sqrt{3}$截面为直角三角形的三棱镜ABC放在水平地面上，其斜边AC=4d，∠A=30°，∠C=60°，在AC的延长线上CD=d处有一光屏HK平行于BC边放置．现有一束单色光从AB的中点M处平行于AC射入时能照亮光屏上的Q点，垂直于AB边射入时能照亮光屏上的P点．求：
①射向Q点的光线射出三棱镜时的折射角；
②PQ两亮点间的距离．

Answer 1

分析 ①能照亮光屏上Q点的单色光在AC面发生了全反射，由折射定律求出该光在AB面上折射角，由几何关系和光的反射定律确定射出三棱镜时的折射角．
②由折射定律求出能照亮光屏上P点的单色光在AC边上的折射角，结合几何知识求解PQ两亮点间的距离．

解答 解：①如图，i=60°
对于能照亮光屏上Q点的单色光，在M点，有 n=$\frac{sini}{sin∠1}$
解得∠1=30°
由几何知识知，该光射到AC面上时入射角∠2=60°
由sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得：30°＜C＜60°
所以光线在AC边上发生了全反射，由光的反射定律和几何知识可知，该光线从BC边垂直射出，因此射向Q点的光线射出三棱镜时的折射角为0°．
②对于能照亮光屏上Q点的单色光：
由几何知识得：AD=2MAcos30°=2×$\sqrt{3}$d×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3d
  FC=4d-3d=d
  FD=2d
则DQ=FDsin30°=d
对于能照亮光屏上P点的单色光：
在E点，有 n=$\frac{sin∠4}{sin∠3}$，∠3=30°
解得∠4=60°
AE=$\frac{\sqrt{3}d}{cos30°}$=2d
则DE=4d-2d+d=3d
由几何知识可得 PD=DE=3d
所以PQ两亮点间的距离 PQ=DQ+PD=4d
答：①射向Q点的光线射出三棱镜时的折射角是0°；
②PQ两亮点间的距离是4d．

点评 解决本题的关键要判断出能照亮光屏上Q点的单色光在AC面发生了全反射，能灵活选用几何知识分析角度和距离．