Question

3．发射地球同步卫星时，先将卫星发射到距地面高度为h₁的圆轨道上，在卫星经过A点时点火实施变轨进入椭圆轨道，最后在椭圆轨道的远地点B点再次点火将卫星送入同步轨道，如图所示．已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响．求：
（1）卫星在近地点A的加速度大小；
（2）远地点B距地面的高度．
（3）能否求出卫星从A点到B点所需的时间．若能，请写出求解过程或表达式（不必求解最终的结果）．

Answer 1

分析 卫星近地点A的加速度由万有引力提供，求出万有引力加速度就可以，在地球表面，重力和万有引力相等，由此可以求出卫星在近地点的加速度a，
在地球同步卫星轨道，已知卫星的周期求出卫星的轨道高度．
根据开普勒第三定律得出从A点到B点所需的时间．

解答 解：（1）设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常数为G，卫星在A点的加速度为a，由牛顿第二定律得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=ma，r=R+h₁，
物体在地球赤道表面上受到的万有引力等于重力，
则：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$；
解以上两式得：a=$\frac{{gR}^{2}}{{（R{+h}_{1}）}^{2}}$．
（2）设远地点B距地面高度为h₂，卫星受到的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，r=（R+h₂） 
解得：h₂=$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R．
（3）根据开普勒第三定律得出
在椭圆轨道上：$\frac{{（\frac{2R{+h}_{1}{+h}_{2}}{2}）}^{3}}{{T′}^{2}}$=k
在同步卫星轨道上：$\frac{{（R{+h}_{2}）}^{3}}{{T}^{2}}$=k
可以求得在椭圆轨道上卫星的周期，所以能求得卫星从A点到B点所需的时间．
答：（1）卫星在近地点A的加速度大小是$\frac{{gR}^{2}}{{（R{+h}_{1}）}^{2}}$；
（2）远地点B距地面的高度是$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R．
（3）能求出卫星从A点到B点所需的时．

点评 根据卫星运动时万有引力提供向心力和在地球表面重力等于万有引力分别列方程求解．会写向心力的不同表达式．