Question

10．如图所示，光滑水平面上相邻放置着长木板A和半径为R的$\frac{1}{4}$光滑圆弧槽B，A的上表面与圆弧最低点相切，现将中间放有少许炸药的C、D两物块置于A、B上的相邻处（C、D均可看做质点）．某时刻炸药爆炸（爆炸事件极短），C、D分别获得一定的速度，C恰能运动到A的最左端，D恰能沿槽面上升至圆弧槽最高点．已知A、B、C、D的质量分别为m_A=m_D=2m，m_B=m_C=m，C与A上表面的动摩擦因数为μ，求：
（1）爆炸结束瞬间D获得的速度；
（2）木板A的长度．

Answer 1

分析 （1）研究D沿槽面上升过程，根据BD系统水平方向动量守恒和系统的机械能守恒列式，可求得爆炸结束瞬间D获得的速度；
（2）对爆炸过程，由动量守恒定律可求出爆炸后瞬间C的速度．再研究C在A上滑行过程，根据动量守恒定律和能量守恒定律结合求木板A的长度．

解答 解：（1）设爆炸结束瞬间D获得的速度为v₀．D沿槽面上升过程，B、D水平方向动量守恒，取水平向右为正方向，则有：2mv₀=3mv₁ …①
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}×2mv_0^2=\frac{1}{2}×3mv_1^2+2mgR$…②
联立解得：${v_0}=\sqrt{6gR}$
（2）C、D爆炸过程，取向左为正方向，由动量守恒定律得：$mv_0^'=2m{v_0}$…③
解得爆炸结束瞬间C获得的速度为：$v_0^'=2\sqrt{6gR}$
C在A上滑行过程，A、C动量守恒，取水平向左为正方向，则得：$mv_0^'=3m{v_2}$…④
解得：${v_2}=\frac{2}{3}\sqrt{6gR}$
A、C系统的能量守恒，则得：$\frac{1}{2}mv_0^{'2}=\frac{1}{2}×3mv_2^2+μmgL$…⑤
联立解得木板A的长度为：$L=\frac{8R}{μ}$
答：（1）爆炸结束瞬间D获得的速度是$\sqrt{6gR}$；
（2）木板A的长度是$\frac{8R}{μ}$．

点评 本题是复杂的力学问题，要理清物体的运动过程，合理选择研究的对象和过程，抓住BD系统水平方向动量守恒，AC系统动量守恒，以及与能量守恒结合进行研究．