Question

18．如图所示，空气中在一折射率为$\sqrt{2}$的玻璃柱体，其横截面是圆心角为90°、半径为R的扇形OAB，一束平行光平行于横截面，以45°入射角照射到OA上，OB不透光，若只考虑首次入射到圆弧AB上的光，则圆弧AB上有光透出部分的弧长为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$πR
• B． $\frac{1}{6}$πR
• C． $\frac{1}{3}$πR
• D． $\frac{5}{12}$πR

Answer 1

分析 作出两条特殊光线，一是从O点沿半径方向进入玻璃柱体的光线，在AO面上折射后传播入方向不变，二是在AB面上发生全反射的光线，有光透出的部分在这两条光线之间，然后根据几何关系求解．

解答 解：光线在AO面折射时，根据折射定律有：$\frac{sin45°}{sinr}$=n=$\sqrt{2}$，得：sinr=0.5，可得折射角为：r=30°．
过O的光线垂直入射到AB界面上点C射出，C到B之间没有光线射出；越接近A的光线入射到AB界面上时的入射角越大，发生全反射的可能性越大．
根据临界角公式：sinC=$\frac{1}{n}$，得临界角为：C=45°
如果AB界面上的临界点为D，此光线在AO界面上点E入射，在三角形ODE中可求得OD与水平方向的夹角为180°-（120°+45°）=15°，所以A到D之间没有光线射出．由此可得没有光线射出的圆弧对应圆心角为 90°-（30°+15°）=45°
所以有光透出的部分的弧长为$\frac{1}{4}$πR．
故选：A

点评 解决本题的关键根据光的折射、全反射原理在AB弧面上找到有光线透出的范围，然后依据几何关系研究．