Question

6．无线充电可以让手机充电是摆脱电源线的束缚．某种无线充电原理是：首先通过一个安置在墙 面插座上的电流转化器，将电能转化为超声波；让用电设备上的接收器捕获超声波讯号，将其在转化回电能为设备充电．接收器单位面积上接收到的超声波功率与接收器和电流转化器之间距离s的平方成反比，其将超声波转化为电能的转化效率为η₁．原理图如图所示． 
某实验电动小汽车质量为m，其电池将电能转为机械能的效率为η₂．某次实验用该装置给其充电，接收器和电流转换器间距离为s₀，充电时间为t₀，此时电池刚好充满电．充好电后启动小汽车，小汽车经过足够长的距离（电能已耗尽）后进入一半径为R的竖直放置的圆形轨道，安装在轨道最高点的力传感器显示所受压力大小恰为小车重力大小．不计一切摩擦，小车在运动过程中可视为质点，电池在充满电后会自动停止充电，已知重力加速度为g．请求出：

（1）电动小车在最高点的速度大小v；
（2）此次实验中接收器接受到的超声波的功率P；
（3）若小车不脱离轨道，充电时间t与接收器和电流转换器间距离，应满足什么关系？

Answer 1

分析 （1）电动小车在最高点受重力和支持力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解即可；
（2）根据机械能定义求解出小车的机械能，根据能量守恒定律列式求解接收器接受到的超声波的功率P；
（3）小车不脱离轨道，有两种可能：做完整的圆周运动或者未到高度R而原路返回；根据能量守恒定律列式分析即可．

解答 解：（1）在最高点：mg+F_N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，又F_N=mg
解得：v=$\sqrt{2gR}$
（2）设小车在水平轨道上的动能为E_k，从水平轨道到最高点满足机械能守恒，即
E_k=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：E_k=3mgR
又电动小车的电池将电能耗尽，部分转化为小车的机械能，即
E_k=Pt₀η₁η₂
故可得：
P=$\frac{3mgR}{{η}_{1}{η}_{2}{t}_{0}}$
（3）若不脱离轨道，则小车可能有两种情况：1）做完整的圆周运动；2）未到高度 R 即原路返回．
1）做完整的圆周运动
若恰好达到轨道最高点，则
$mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$?
从水平轨道到最高点满足机械能守恒
${E}_{k1}=mg（2R）+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
又E_k1=P₁tη₁η₂
由以上各式可得：
$\frac{{E}_{k}}{{E}_{k1}}=\frac{P{t}_{0}}{{P}_{1}t}=\frac{3mgR}{2.5mgR}$，又$\frac{P}{{P}_{1}}=\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}$
故$t=\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}$，
即此时恰到达最高点，故能通过最高点的条件是$t≥\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}$；
考虑到电池可能充满电，P₁t≤Pt₀，又$\frac{P}{{P}_{1}}=\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}$，
可得t≤$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$
综上，若做完整的圆周运动，应满足：$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}{t}_{0}≥t≥\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}$
2）未到高度 R 即原路返回
若恰好上升高度为 R，则E_k2=mgR，又E_k2=P₂tη₁η₂
由以上各式可得：$\frac{{E}_{k}}{{E}_{k2}}=\frac{P{t}_{0}}{{P}_{2}t}=\frac{3mgR}{mgR}$，又$\frac{P}{{P}_{2}}=\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}$
故$t=\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$，
即此时恰到上升高度 R，故此种情况下应满足
t≤$\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$．
此情况下由于E_k2=mgR＜E_k，即电池并未充满电．
综上，若满足t≤$\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$或是$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}{t}_{0}≥t≥\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}$，则小车不会脱离轨道．
答：（1）电动小车在最高点的速度大小v为$\sqrt{2gR}$；
（2）此次实验中接收器接受到的超声波的功率P为$\frac{3mgR}{{η}_{1}{η}_{2}{t}_{0}}$；
（3）若小车不脱离轨道，充电时间t与接收器和电流转换器间距离，应满足t≤$\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$或$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}{t}_{0}≥t≥\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}$的关系．

点评 本题关键明确小车的运动规律，结合机械能守恒定律、能量守恒定律、牛顿第二定律列式求解；第三问要注意分完整圆周运动和不完整圆周运动进行分析．