Question

5．有一单摆，在海平面上某一段时间内摆动了N次，在该处某山顶上同样长的时间内摆动了N-1次，由此可知，此山的海拨高度是地球半径的（　　）

• A． $\frac{1}{N-1}$倍
• B． $\frac{1}{N}$倍
• C． $\frac{1}{N+1}$倍
• D． $\frac{N-1}{N+1}$倍

Answer 1

分析 根据单摆的周期公式，结合周期之比求出重力加速度之比，从而根据万有 引力等于重力求出山的海拔高度是地球半径的倍数．

解答 解：根据T=$2π\sqrt{\frac{L}{g}}$知，g=$\frac{4{π}^{2}L}{{T}^{2}}$，
在海平面上某一段时间内摆动了N次，在某山顶同样长的时间内摆动了N-1次，知在海平面上的周期与山顶上的周期之比为（N-1）：N．
则海平面的重力加速度与山顶的重力加速度之比为：$\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}=\frac{{N}^{2}}{（N-1）^{2}}$
设海拔高度为h，根据万有引力等于重力得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{1}$，$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m{g}_{2}$
$\frac{（R+h）^{2}}{{R}^{2}}=\frac{{g}_{1}}{{g}_{2}}=\frac{{N}^{2}}{（N-1）^{2}}$
解得：$\frac{h}{R}=\frac{1}{N-1}$，
即：h=$\frac{1}{N-1}R$．
故选：A．

点评 本题考查单摆的周期公式和万有引力定律的综合运用，掌握万有引力等于重力，知道重力加速度与轨道半径的关系，并能灵活运用．