Question

6．如图所示，某卫星S绕地球做周期为T的匀速圆周运动，地球相对于卫星S的张角为θ．地球视为质量分布均匀的球体，其表面重力加速度为g，引力常量为G．求：
（1）卫星S的速度大小；
（2）地球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 根据几何关系求得卫星轨道半径，根据万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力求解．

解答 解：（1）由题意令卫星的轨道半径为r，地球的半径为R，根据几何关系可知，
r=$\frac{R}{sin\frac{θ}{2}}$
根据万有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
T=2π $\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
根据万有引力等于重力，有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，
联立解得：R=$\frac{{{gT}^{2}si{n}^{3}（\frac{θ}{2}）}^{\;}}{{4π}^{2}}$，r=$\frac{{{gT}^{2}si{n}^{2}（\frac{θ}{2}）}^{\;}}{{4π}^{2}}$
卫星S的速度大小为：v=$\frac{2πr}{T}$=$\frac{Tg}{2π}$sin²$\frac{θ}{2}$，
（2）根据万有引力提供向心力得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
v=$\sqrt{gR}$=$\frac{Tg}{2π}$$\sqrt{{sin}^{3}\frac{θ}{2}}$，
答：（1）卫星S的速度大小是$\frac{Tg}{2π}$sin²$\frac{θ}{2}$；
（2）地球的第一宇宙速度是$\frac{Tg}{2π}$$\sqrt{{sin}^{3}\frac{θ}{2}}$．

点评 解决本题的关键是能根据几何关系求得卫星轨道半径与地球半径的大小关系，这是学生容易出错的主要地方．