Question

15．光滑水平面AB与竖直面内的圆形导轨在B点连接，导轨半径R=0.5m，一个质量m=2kg的小球在A处压缩一轻质弹簧，弹簧与小球不拴接．用手挡住小球不动，此时弹簧弹性势能E_P=49J，如图所示．放手后小球向右运动脱离弹簧，沿圆形轨道向上运动恰能通过最高点C，取g=10m/s²，求：
（1）小球脱离弹簧时的速度大小？
（2）小球通过B点对轨道的压力？
（3）小球从B到C克服阻力做的功？

Answer 1

分析 （1）在小球脱离弹簧的过程中只有弹簧弹力做功，根据弹力做功与弹性势能变化的关系和动能定理可以求出小球的脱离弹簧时的速度v；
（2）在B点，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解支持力，根据牛顿第三定律列式求解压力；
（3）小球从B到C的过程中只有重力和阻力做功，根据小球恰好能通过最高点的条件得到小球在最高点时的速度，从而根据动能定理求解从B至C过程中小球克服阻力做的功．

解答 解：（1）小球从A点开始至小球脱离弹簧的过程中根据弹力做功与弹性势能变化的关系有：
W_弹=-△E_P弹=-（0-E_p）=49J
对小球而言，此过程只有弹力做功，故有：W_弹=$\frac{1}{2}$mv²-0，
得小球脱离弹簧时的速度为：v=$\sqrt{\frac{2{W}_{弹}}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×49}{2}}$m/s=7m/s
（2）在B点，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
根据牛顿第三定律，有：
N′=N
联立解得：
N′=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$=2×10+2×$\frac{{7}^{2}}{0.5}$=216N
（3）小球恰好能通过最高点C，故在最高点小球只受重力作用，根据牛顿第二定律有：
F_合=mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
得小球在C点时的速度为：
v_C=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.5}$m/s=$\sqrt{5}$m/s
因为AB段光滑，小球在B点时的速度等于小球脱离弹簧时的速度即：v_B=v=7m/s
在从B至C的过程中只有重力和阻力做功，根据动能定理有：
W_G+W_f=$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
得阻力做功为：
W_f=$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$-W_G=$\frac{1}{2}$×2×（$\sqrt{5}$）²-$\frac{1}{2}$×2×7²-（-2×10×2×0.5）J=-24J
所以从B至C的过程中小球克服阻力做功24J；
答：（1）小球脱离弹簧时的速度大小为7m/s；
（2）小球通过B点对轨道的压力为216N；
（3）小球从B到C克服阻力做的功为24J．

点评 本题的解题关键是根据牛顿第二定律求出物体经过B、C两点的速度，再结合动能定理、向心力公式的知识求解．