Question

8．如图所示，两互相平行的水平金属导轨MN，PQ放在竖直平面内相距为L，左端接平行板电容器，板间距离为d，右端接滑动变阻器R，水平匀强磁场磁感应强度为B，垂直于导轨所在平面，导体棒CD （不计重力）与导轨接触良好，棒的电阻为r，其他电阻及摩擦不计，现用与导轨平行的大小为F，使棒从静止开始运动，已知F=2N，L=0.4m，d=0.2m，B=10T，r=1Ω，R的最大值为2Ω，取g=10m/s²．求：
（1）求导体棒处于稳定状态时，拉力的最大功率
（2）导体棒处于稳定状态且滑动触头在动变阻器中点时，一带电小球从平行板电容器左侧沿两极板的正中间入射，在两极板间恰好做匀速直线运动；当滑动触头位于最下端时，该带电小球以同样的方式和速度入射，小球恰好在两极板间做匀速圆周运动，求圆周的半径？

Answer 1

分析 （1）当导体棒稳定时做匀速直线运动，导体棒处于平衡状态，导体棒受到的安培力与拉力大小相等，求出拉力功率的表达式，然后根据表达式求出拉力功率的最大值．
（2）小球匀速通过极板时做匀速直线运动，对小球受力分析，然后由平衡条件列方程；小球在极板间做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，重力与电场力合力为零，由平衡条件及牛顿第二定律列方程，然后解方程组，求出小球的速度与轨道半径．

解答 解：（1）当棒达到匀速运动时，金属棒受到的安培力：
F_B=BIL=B$\frac{BLv}{R+r}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
由平衡条件得：F=F_B，即：F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
导体棒的速度v=$\frac{F（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
拉力功率P=Fv=$\frac{{F}^{2}（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
可知当R=2Ω时，拉力功率最大，最大功率为P_m=0.75W；
（2）当触头滑到中点即R=1Ω时
棒匀速运动的速度v₁=$\frac{F（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$=0.25m/s
导体棒产生的感应电动势E₁=BLv₁=10×0.4×0.25=1V
电容器两极板间电压U₁=$\frac{{E}_{1}R}{R+r}$=0.5V，
由于棒在平行板间做匀速直线运动，则小球必带正电
此时小球受力情况如图所示，设小球的入射速度为v₀
由平衡条件知：F+f=G 即 q$\frac{{U}_{1}}{d}$+qv₀B=mg…①
当滑头滑至下端即R=2Ω时，棒的速度v₂=$\frac{F（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{3}{8}$m/s
导体棒产生的感应电动势 E₂=BLv₂=1.5V
电容器两极板间的电压U₂=$\frac{{E}_{2}R}{R+r}$=1V
由于小球在平行板间做匀速圆周运动
电场力与重力平衡，于是：q$\frac{{U}_{2}}{d}$=mg…②
代入数值，由①②解得：v₀=$\frac{{U}_{2}-{U}_{1}}{Bd}$=0.25m/s
小球作圆周运动时洛仑兹力提供向心力
由牛顿第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
小球作圆周运动的半径为r=0.0125m
答：（1）导体棒处于稳定状态时拉力的最大功率是0.75W．
（2）小球在两极板间恰好做匀速圆周运动的速度为0.25m/s，做圆周运动的轨道半径为0.0125m．

点评 本题涉及的知识点较多，是电磁感应与电路、与力学相结合的一道综合题，本题难度较大，是一道难题；正确受力分析、分析清楚过程、熟练掌握并灵活应用基础知识是正确解题的关键．