Question

7．一质量为M、均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度．

Answer 1

分析 在距离转轴最远处取一小段，由几何关系求出质量，由向心力的表达式求出需要的向心力，然后结合力的合成即可求出．

解答 解：在圆环上取很一小段，长度为l，质量为dm，对应的圆心角为dθ，则：
$l=\frac{R•dθ}{2π}$；
所以：dm=$\frac{l}{2πR}•M=\frac{M}{2π}•dθ$
dm做圆周运动需要的向心力为：f=dmω²R=$\frac{M}{2π}•{ω}^{2}R•dθ$
m受力如图：
根据图可以分析得到，张力T与f大小的关系为：f=2T•sin$\frac{dθ}{2}$
根据微分的知识可得此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度为：ω=$\frac{\sqrt{2πT}}{\sqrt{MR}}$．
答：此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度$\frac{\sqrt{2πT}}{\sqrt{MR}}$．

点评 该题为竞赛辅导的题目，解答的关键是使用微元法得出．