题目内容
如图所示，间距为d的带电平行金属板P和Q之间构成加速电子的电场，Q板右侧区域I和区域II内存在匀强磁场．区域I左边界与金属板平行，区域Ⅱ的左边界与区域I的右边界重合．已知区域I内的磁场垂直于Oxy平面向外，区域II内的磁场垂直于Oxy平面向里，且磁感应强度大小均为B，区域I和区域II沿x轴方向的宽度均为
| ||
| 2Be |
（1）求P、Q间电场强度的大小E；
（2）求电子从区域Ⅱ右边界射出时，射出点的纵坐标y；
（3）撤除区域I中的磁场而在其中加上沿x轴正向的匀强电场，使得该电子刚好不能从区域Ⅱ的右边界飞出．求电子的区域II中运动的速度v和在区域I中运动的平均速度
. |
| v |
分析：（1）电子在经过P、Q间电场加速时，电场力做功eEd．已知初速度为零，末速度为v0，即可知动能的变化量，根据动能定理求出P、Q间电场强度的大小E．
（2）画出电子进入磁场的运动轨迹．电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得到半径，根据几何知识求出电子在磁场Ⅰ沿y轴偏转的距离y0，由题意，磁场Ⅱ与磁场Ⅰ磁感应强度大小相同，方向相反，则知电子在两磁场区域偏转距离相同，即可求出射出点的纵坐标y；
（3）沿x轴正向的匀强电场后，电子刚好不能从区域Ⅱ的右边界飞出时，电子在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的轨迹恰好与区域Ⅱ的右边界相切，画出电子的运动轨迹，由几何知识得到电子运动的半径，根据半径公式r=
，即可求出速度v．
电子通过区域Ⅰ时做匀加速直线运动，已知初速度v0，末速度v，由运动学公式可求得在区域I中运动的平均速度
．
（2）画出电子进入磁场的运动轨迹．电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得到半径，根据几何知识求出电子在磁场Ⅰ沿y轴偏转的距离y0，由题意，磁场Ⅱ与磁场Ⅰ磁感应强度大小相同，方向相反，则知电子在两磁场区域偏转距离相同，即可求出射出点的纵坐标y；
（3）沿x轴正向的匀强电场后，电子刚好不能从区域Ⅱ的右边界飞出时，电子在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的轨迹恰好与区域Ⅱ的右边界相切，画出电子的运动轨迹，由几何知识得到电子运动的半径，根据半径公式r=
| mv |
| eB |
电子通过区域Ⅰ时做匀加速直线运动，已知初速度v0，末速度v，由运动学公式可求得在区域I中运动的平均速度
. |
| v |
解答：
解：（1）电子在P、Q间运动过程，由动能定理得
eEd=
m
得E=
（2）如图所示，画出电子在磁场中运动的轨迹．电子进入区域Ⅰ做匀速圆周运动，向上偏转，洛伦兹力提供向心力，则有
ev0B=m
设电子在区域Ⅰ中沿y轴方向偏转的距离为y0．
由题意，区域Ⅰ的宽度为b=
，则由几何知识得
（R-y0）2+b2=R2
解得，y0=
因两磁场的感应强度大小相等、方向相反，则电子在两个磁场中偏转距离相同，所以电子从区域Ⅱ右边界射出时，射出点的纵坐标y=2y0=2
．
（3）电子刚好不能从区域Ⅱ的右边界飞出时，说明电子在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的轨迹恰好与区域Ⅱ的右边界相切，画出电子的运动轨迹如图所示．
由几何知识得到电子运动的半径r=b=
．
根据半径公式r=
，即有
=
．
解得，v=
v0
电子通过区域Ⅰ时做匀加速直线运动，则在此过程中运动的平均速度
=
=
．
答：（1）P、Q间电场强度的大小E是
；
（2）电子从区域Ⅱ右边界射出时，射出点的纵坐标y是2
；
（3）电子的区域II中运动的速度v为
v0，在区域I中运动的平均速度
是
．
解：（1）电子在P、Q间运动过程，由动能定理得eEd=
| 1 |
| 2 |
| v | 2 0 |
得E=
m
| ||
| 2ed |
（2）如图所示，画出电子在磁场中运动的轨迹．电子进入区域Ⅰ做匀速圆周运动，向上偏转，洛伦兹力提供向心力，则有
ev0B=m
| ||
| R |
设电子在区域Ⅰ中沿y轴方向偏转的距离为y0．
由题意，区域Ⅰ的宽度为b=
| ||
| 2Be |
（R-y0）2+b2=R2
解得，y0=
| mv0 |
| 2eB |
因两磁场的感应强度大小相等、方向相反，则电子在两个磁场中偏转距离相同，所以电子从区域Ⅱ右边界射出时，射出点的纵坐标y=2y0=2
| mv0 |
| 2eB |
（3）电子刚好不能从区域Ⅱ的右边界飞出时，说明电子在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的轨迹恰好与区域Ⅱ的右边界相切，画出电子的运动轨迹如图所示．
由几何知识得到电子运动的半径r=b=
| ||
| 2Be |
根据半径公式r=
| mv |
| eB |
| mv |
| eB |
| ||
| 2Be |
解得，v=
| ||
| 2 |
电子通过区域Ⅰ时做匀加速直线运动，则在此过程中运动的平均速度
. |
| v |
| v0+v |
| 2 |
(2+
| ||
| 4 |
答：（1）P、Q间电场强度的大小E是
m
| ||
| 2ed |
（2）电子从区域Ⅱ右边界射出时，射出点的纵坐标y是2
| mv0 |
| 2eB |
（3）电子的区域II中运动的速度v为
| ||
| 2 |
. |
| v |
(2+
| ||
| 4 |
点评：本题的解题关键是画出电子运动的轨迹，同时要抓住电子在三个场区运动时相等的量．
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