Question

如图1所示，一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线圈与阻值为2R的电阻R₁连接成闭合回路，线圈的半径为r₁，在线圈中半径为r₂的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图2所示，图线与横、纵轴的截距分别为t₀和B₀导线的电阻不计．

（1）求0至t₀时间内通过电阻R₁上的电流大小和方向；
（2）求t₀时刻电容器C上所带电荷量；
（3）求0至t₀时间内通过电阻R₁上的电量q；
（4）画出0至5t₀时间内通过电阻R₁上的电流随时间变化的图象，求出电流的有效值；
（5）求0至5t₀时间内电阻R₁上产生的热量．

Answer 1

分析：（1）由法拉第电场感应可得产生的感应电动势，由欧姆定律可得电阻R₁上的电流．
（2）已知电动势可知电容器两端电压，进而由电容定义式可得电容器的带电量．
（3）由电流定义式可得0至t₀时间内通过电阻R₁上的电量q．
（4）由磁感应强度的变化，可以得到电流的变化，进而可以画出0至5t₀时间内通过电阻R₁上的电流随时间变化的图象．
（5）Q_热=I²Rt可求求0至5t₀时间内电阻R₁上产生的热量．

解答：解：（1）由图2可知

△B

△t

=

B0

t0

，由法拉第电磁感应定律知：
E=n

△?

△t

=

nπr22△B

△t

=

πnB0 r 2 2

t0

由闭合电路欧姆定律知：
I=

E

3R

=

πnB0 r 2 2

3Rt0

，方向由b→a．
（2）电容器两端电压：
U=IR₁=

2πnB0 r 2 2

3t0

t₀时刻电容器C上所带电荷量：
Q=CU=

2πnCB0 r 2 2

3t0

．
（3）通过电阻R₁上的电量为：
q=It₀=

πnB0 r 2 2

3R

．
（4）通过电阻R₁上的电流随时间变化为：
0～t₀：I=

πnB0 r 2 2

3Rt0

t₀～2t₀：I=-

πnB0 r 2 2

3Rt0

2t₀～3t₀：I=

πnB0 r 2 2

3Rt0

3t₀～4t₀：I=-

πnB0 r 2 2

3Rt0

4t₀～5t₀：I=

πnB0 r 2 2

3Rt0

可得电流随时间变化图象如图所示．
根据电流有效值的意义可知电流的有效值为：
I=

πnB0 r 2 2

3Rt0

．
（5）电阻R₁上产生的热量为：
Q_热=I²R₁?5t₀=

10π2n2B02r24

9Rt0

答：（1）求0至t₀时间内通过电阻R₁上的电流大小和方向由闭合电路欧姆定律知：
I=

πnB0 r 2 2

3Rt0

，方向由b→a；
（2）求t₀时刻电容器C上所带电荷量；
（3）求0至t₀时间内通过电阻R₁上的电量q=

πnB0 r 2 2

3R

；
（4）0至5t₀时间内通过电阻R₁上的电流随时间变化的图象如图，电流的有效值I=

πnB0 r 2 2

3Rt0

；
（5）求0至5t₀时间内电阻R₁上产生的热量为

10π2n2B02r24

9Rt0

．

点评：考查楞次定律来判定感应电流方向，由法拉第电磁感应定律来求出感应电动势大小．还可求出电路的电流大小，及电阻消耗的功率．同时磁通量变化的线圈相当于电源．