Question

如图所示，在平面坐标系xoy内，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y轴正方向的匀强电场，第Ⅰ、Ⅳ象限内存在半径为L的圆形边界匀强磁场，磁场圆心在M（L，0）点，磁场方向垂直于坐标平面向外．带电量为q、质量为m的一带正电的粒子（不计重力）从Q（-2L，-L）点以速度υ₀沿x轴正方向射出，恰好从坐标原点O进入磁场，从P（2L，0）点射出磁场．求：
（1）电场强度E的大小；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）粒子在磁场与电场中运动时间之比．

Answer 1

分析：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出电场强度．
（2）由运动的合成与分解求出粒子进入磁场时的速度大小于方向，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可以求磁感应强度．
（3）求出粒子在电场与磁场中的运动时间，然后求出它们的比值．

解答：解：粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做平抛运动，运动轨迹如图所示；
（1）粒子在电场中做类平抛运动，
x轴方向：2L=v₀t，
y方向：L=

1

2

at²=

1

2

qE

m

t²，
解得，电场强度：E=

m v 2 0

2qL

；
（2）设粒子到达坐标原点时竖直分速度为v_y，
粒子在电场中做类似平抛运动，
x方向：2L=v₀t…①
y方向：L=

vy

2

t…②
由①②得：v_y=v₀，t=

2L

v0

，
设粒子到达0点时速度为v，方向与x轴夹角为α
则tanα=

vy

v0

=1，解得：α=45°，
v=

v 2 0 + v 2 y

=

2

v₀，
离子进入磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m

v2

r

，
由几何关系得：r=

2

L，
解得：B=

mv0

qL

；
（3）粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=

2πr

v

，
粒子在磁场中的运动时间：
t′=

θ

360°

T=

2α

360°

T=

2×45°

360°

×

2π× 2 L

2 v0

=

πL

2v0

，
粒子在磁场与电场中运动时间之比：

t′

t

=

πL 2v0

2L v0

=

π

4

；
答：（1）电场强度E的大小为

m v 2 0

2qL

；
（2）磁感应强度B的大小为

mv0

qL

；
（3）粒子在磁场与电场中运动时间之比为π：4．

点评：带电粒子在匀强电场中运动时，要注意应用运动的合成和分解；而在磁场中运动时为匀速圆周运动，在解题时要注意应用好平抛和圆周运动的性质．