Question

18．如图所示，长为L=4m的水平传送带以v₀=6m/s的速度顺时针匀速转动，左侧有一半径为R₁=0.8m的$\frac{1}{4}$光滑圆弧，圆弧底部与皮带在同一水平线上，右侧有一半径为R₂=0.8m的半圆光滑细管，圆管上端口下部正好紧邻皮带且与皮带在同一水平线上．光滑水平地面上紧靠关口有一长度为L₁=9m，质量M=6kg的木板，木板上端正好与关口底部在同一水平线上，木板的左方有一足够长的台阶，其高度正好与木板相同，木板左侧与台阶距离为L₂=1M，当木板与台阶碰撞时立即被黏住速度变为零，现将一质量为m=2kg的物块从$\frac{1}{4}$圆弧的顶部A由静止释放，已知皮带与物块间的动摩擦因数为μ₁=0.2，物块与木板间的动摩擦因数μ₂=0.3，物块与台阶表面的动摩擦因数也为μ₂=0.3，g=10m/s²，物块可视为质点，圆管粗细不计，试求：
（1）物块刚滑入圆管顶部C处的速度大小；
（2）物块滑到回圆管底部D处对底部的压力．
（3）判断物块最终停在何处．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒求出物块下滑到B点的速度，根据动能定理求出物块滑到右端的速度；
（2）根据机械能守恒定律求出物块到达D处的速度，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出物块对底部压力的大小；
（3）物块滑上木板后最终共速为v₄，由牛顿第二运动定律求出物块和木板的加速度，根据运动学基本公式求出共同速度，再根据动能定理求解各自的位移，根据位移关系判断即可．

解答 解：（1）设物块下滑到B点时速度为v₁，由机械能守恒有：
$mg{R}_{1}=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}$
因为v₀=6m/s＞v₁=4m/s，故物块滑上皮带后加速运动，若一直加速由动能定理：
${μ}_{1}mgL=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
解得：${v}_{2}=4\sqrt{2}＜6m/s$
故一直加速，则滑块以${v}_{2}=4\sqrt{2}$m/s滑入管口．
（2）由C点到D点由机械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}+mg•2{R}_{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}$
在D处由牛顿第二运动定律：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{3}}^{2}}{{R}_{2}}$
代入数据解得：F_N=180N
由牛顿第三定律：F'_N=F_N=180N，方向竖直向下．
（3）物块滑上木板后最终共速为v₄，由牛顿第二运动定律：
μ₂mg=ma₁，μ₂mg=Ma₁，由运动学公式可得：v₃-a₁t=a₂t，可得共速速度v₄=a₂t=2m/s，水平向左，此过程物块运动的位移为x₁，木板运动的位移为x₂，由动能定理得：
${-μ}_{2}mg{x}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{4}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}$，${μ}_{2}mg{x}_{2}=\frac{1}{2}M{{v}_{4}}^{2}$
解得：x₁=10m，x₂=2m
由于x₁-x₂=8m＜L₁，但两者共速需要木板运动x₂=2m＞L₂，因此物块与木板不能共速．当木板被粘住后，木块继续滑行设滑上台阶运动x₃后停止，由动能定理得：
${-μ}_{2}mg（{L}_{1}+{L}_{2}+{x}_{3}）=0-\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}$
解得：${x}_{3}=\frac{2}{3}$m，即离台阶右侧E点为$\frac{2}{3}$m处停下．
答：（1）物块刚滑入圆管顶部C处的速度大小为$4\sqrt{2}m/s$；
（2）物块滑到回圆管底部D处对底部的压力为180N．
（3）判断物块最终停在离台阶右侧E点为$\frac{2}{3}$m处．

点评 本题考查了机械能守恒、动能定理、牛顿第二定律的综合运用，知道圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，要求同学们能正确分析物体的运动情况和受力情况，难度较大．