Question

19．把水平传送带改为倾斜传送带，若传送带与水平面间倾角θ=37°，如图所示，传送带以5m/s的恒定速度顺时针运动，传送带长l=7.5m，今在其上端A将一工件轻轻放在上面，工件被带动，传送到下端B，已知工件与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，试求：工件经多长时间由传送带上端A运动到下端B？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 工件轻轻放在传送带顶端，工件相对于传送带向上运动，受到沿斜面向下的滑动摩擦力作用，向下做匀加速直线运动，如果传送带足够长，当速度相等后，因为mgsin37°＞μmgcos37°，继续沿斜面向下做匀加速直线运动，分析运动过程，根据牛顿第二定律和运动学公式求解

解答 解：刚放在传送带上时，对工件受力分析，工件受到重力、支持力、向下的滑动摩擦力作用，根据牛顿第二定律有
$mgsin37°+μmgcos37°=m{a}_{1}^{\;}$
得${a}_{1}^{\;}=gsin37°+μgcos37°=10m/{s}_{\;}^{2}$
设经过时间${t}_{1}^{\;}$，工件与传送带速度相等$v={a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}$
代入数据解得：${t}_{1}^{\;}=0.5s$
${t}_{1}^{\;}$时间内的位移${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×10×0．{5}_{\;}^{2}=1.25m$
匀加速运动的位移${x}_{2}^{\;}=7.5-1.25=6.25m$
根据牛顿第二定律：$mgsin37°-μmgcos37°=m{a}_{2}^{\;}$
得${a}_{2}^{\;}=gsin37°-μgcos37°=2m/{s}_{\;}^{2}$
${t}_{1}^{\;}s$的末速度${v}_{1}^{\;}={a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}=10×0.5=5m/s$
${x}_{2}^{\;}={v}_{1}^{\;}{t}_{2}^{\;}+\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{2}^{2}$
代入数据：$6.25=5{t}_{2}^{\;}+\frac{1}{2}×2{t}_{2}^{2}$
代入数据解得${t}_{2}^{\;}=1.03s$
所以工件由传送带上端到下端的时间$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=1.53s$
答：工件经1.53s由传送带上端A运动到下端B

点评 本题考查牛顿运动定律的综合应用，关键是知道物块的运动情况，判断速度相等时物块有没有到达传送带的底端，若速度相等还未到传送带底端，则有两个过程分别以不同的加速度匀加速运动．