题目内容

5．如图所示，水平放置的圆盘半径为R=1m，在其边缘C点固定一个高度不计的小桶，在圆盘直径CD的正上方放置一条水平滑道AB，滑道AB与CD平行．滑道右端B与圆盘圆心O在同一竖直线上，其高度差为h=1.25m．在滑道左端静止放置一质量为m=0.4kg的物块（可视为质点），物块与滑道间的动摩擦因数为μ=0.2．当用一大小为F=4N的水平向右拉力拉动物块的同时，圆盘从图示位置以角速度ω=2π rad/s，绕盘心O在水平面内匀速转动，拉力作用一段时间后撤掉，物块在滑道上继续滑行，由B点水平抛出，恰好落入小桶内．重力加速度g=10m/s2．求
（1）拉力作用的最短时间；
（2）若拉力作用时间为0.5s，滑块会落入小桶吗？若能，求所需滑道的长度．
（3）物块落入桶中后如果随圆盘一起以ω=$\sqrt{\frac{15}{2}}$rad/s匀速转动，小桶给物块的水平方向作用力大小．

分析 （1）若圆盘转一圈，物块恰好调入小桶，此时作用力时间最短．圆盘转一圈的时间与匀加速运动、匀减速运动、平抛运动三个时间之和相等．
（2）物块离开B点后做平抛运动，可以求出平抛运动的时间和平抛运动的初速度，物块在滑道上先匀加速运动再匀减速运动，两个运动的位移之和为滑道的长度．
（3）小桶水平方向给物块的作用力提供向心力，根据牛顿第二定律求出水平方向的作用力，再由力的合成求解．

解答 解：（1）物块由B点抛出后做平抛运动，在竖直方向有：
h=$\frac{1}{2}$gt2
物块离开滑到的速度：v=$\frac{R}{t}$=2m/s
拉动物块时的加速度，由牛顿第二定律：F-μmg=ma1
得：a1=8m/s2，
圆盘转过一周时落入，拉力作用时间最短；盘转过一圈的时间：
T=$\frac{2π}{ω}$=1s
物块在滑道导航先加速后减速：v=a1t1-a2t2
物块滑行时间、抛出在空中时间与圆盘周期关系：t1+t2+t=T
由上面两式联立得：t1=0.3s
（2）拉力作用时间为0.5s＞0.3s，能落入小桶，
物块加速获得速度：v1=a1t=4m/s
滑块撤去F滑行时间为：t′=$\frac{v-{v}_{0}}{{a}_{2}}$=1s
则板长为：L=x1+x2=$\frac{1}{2}$a1t12+$\frac{{v}^{2}-{{v}_{1}}^{2}}{2{a}_{2}}$=4m
（3）小桶水平方向给物块的作用力提供向心力，有：Fx=mω2R=0.4×$\frac{15}{2}$×1N=3N
竖直方向给物块的作用力与重力等大反向，即为：Fy=4N，
则小桶给物块的作用力：F=$\sqrt{{{F}_{x}}^{2}+{{F}_{y}}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$N=5N；
答：
（1）拉力作用的最短时间为0.3s；
（2）若拉力作用时间为0.5s，能落入小桶，所需滑道的长度为4m．
（3）小桶给物块的作用力大小5N．

点评 解决本题的关键知道物块整个过程的运动：匀加速直线运动、匀减速直线运动和平抛运动，知道三个过程的运动时间与圆盘转动的时间相等．以及熟练运用运动学公式．

练习册系列答案
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（3）小平板车最终的速度vc．

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