Question

15．如图所示，固定在水平面的平台上有一个半径为R的四分之一圆弧轨道AB，其末端B的切线水平，且与小平板车的上表面等高．小平板车质量为M，长为L，紧靠平台静止在水平面上．车的右端C固定一根轻弹簧．将一个质量为m的小滑块由圆弧轨道最高点A处无初速释放，小滑块从B点冲上小平板车．不计一切摩擦，重力加速度为g．求：
（1）小滑块从B点刚冲上小平板车时的速率v_B；
（2）小滑块冲上小平板车后，弹簧的最大弹性势能E_p；
（3）小平板车最终的速度v_c．

Answer 1

分析 （1）从A到B的过程中，根据动能定理求解速度；
（2）小滑块冲上小平板车后，当滑块与小车的速度相等时，弹簧的弹性势能最大，此过程中，小车和滑块及弹簧组成的系统机械能守恒，据此列式求解；
（3）当弹簧恢复原长时，滑块向左运动，最终离开小车，此过程中，系统动量守恒，机械能守恒，据此列式求解．

解答 解：（1）从A到B的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=mgR$
解得：
${v_B}=\sqrt{2gR}$
（2）小滑块冲上小平板车后，当滑块与小车的速度相等时，弹簧的弹性势能最大，此过程中，小车和滑块及弹簧组成的系统机械能守恒，动量守恒，取向右为正，则有：
mv_B=（m+M）v
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}（m+M）{v}^{2}+{E}_{P}$
解得：${E_p}=\frac{MmgR}{M+m}$
（3）当弹簧恢复原长时，滑块向左运动，最终离开小车，此过程中，系统动量守恒，机械能守恒，则有：
mv_B=Mv_C-mv′
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}M{{v}_{C}}^{2}+\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
解得：${v_c}=\frac{2m}{M+m}\sqrt{2gR}$
答：（1）小滑块从B点刚冲上小平板车时的速率v_B为$\sqrt{2gR}$；
（2）小滑块冲上小平板车后，弹簧的最大弹性势能E_p为$\frac{MmgR}{M+m}$；
（3）小平板车最终的速度v_c为$\frac{2m}{M+m}\sqrt{2gR}$．

点评 本题主要考查了动量守恒定律及机械能守恒定律的直接应用，知道小滑块冲上小平板车后，当滑块与小车的速度相等时，弹簧的弹性势能最大，难度适中．