Question

8．经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，设质量分别用m₁、m₂表示，且m₁：m₂=5：2．则可知（　　）

• A． m₁、m₂做圆周运动的线速度之比为2：5
• B． m₁、m₂做圆周运动的角速度之比为5：2
• C． m₁做圆周运动的半径为$\frac{2}{7}$L
• D． 两颗恒星的公转周期相等，且可表示为2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$

Answer 1

分析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．对两颗星分别运用牛顿第二定律和万有引力定律列式，即可进行求解．

解答 解：双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度，设为ω．
$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}{ω}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}$
解得：$\frac{{r}_{1}^{\;}}{{r}_{2}^{\;}}=\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}}=\frac{2}{5}$
${r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}=L$
解得${r}_{1}^{\;}=\frac{2}{7}L$         ${r}_{2}^{\;}=\frac{5}{7}L$故C正确；
双星具有相同的角速度，所以$\frac{{ω}_{1}^{\;}}{{ω}_{2}^{\;}}=\frac{1}{1}$，故B错误；
根据v=ωr知v∝r，所以$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_{1}^{\;}}{{r}_{2}^{\;}}=\frac{2}{5}$，故A正确；
根据万有引力提供向心力，有$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{2}^{\;}$
解得$G{m}_{2}^{\;}{T}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}{L}_{\;}^{2}$①
$G{m}_{1}^{\;}{T}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}{L}_{\;}^{2}$②
联立：$G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）{T}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}$
$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$=$2π\sqrt{\frac{{L}_{\;}^{3}}{G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$，故D正确
故选：ACD

点评 解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及会用万有引力提供向心力进行求解．