Question

11．如图所示，光滑固定斜面倾角θ=60°，一质量M=1kg的足够长的木板放在水平地面上，与斜面平滑连接，木板与水平面间的动摩擦因数μ₁=$\frac{\sqrt{3}}{10}$．将一质量m=1kg的滑块放在斜面上A点，A点到木板上表面的距离h=1m．由静止释放滑块．并同时给滑块一水平方向右、大小F=2$\sqrt{3}$N的外力．滑块沿斜面下滑．滑块滑上木板后再经过t=3$\sqrt{2}$s撤去外力F，已知滑块与木板间的动摩擦因数μ₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，取g=10m/s²．求：
（1）滑块下滑到斜面底端时的速度大小v₀；
（2）木板在水平面上滑行的最大距离x．

Answer 1

分析 （1）滑块从A点运动到斜面底端的过程中，根据动能定理即可求解速度；
（2）分析木板和滑块的受力情况，判断运动情况，根据牛顿第二定律分别求出F撤去前和撤去后的加速度，再结合运动学基本公式列式求解即可．

解答 解：（1）滑块从A点运动到斜面底端的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=mgh+F\frac{h}{tan60°}$
解得：v₀=$2\sqrt{6}$m/s
（2）滑上滑块后，在F和滑动摩擦力作用下做匀变速直线运动，撤去拉力后在滑动摩擦力作用下做匀减速直线运动，拉力撤去前，根据牛顿第二定律得：a=$\frac{F-{μ}_{2}mg}{m}=\frac{2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}×10}{1}=-\frac{\sqrt{3}}{2}m/{s}^{2}$，
木板的加速度${a}_{1}=\frac{{μ}_{2}mg{-μ}_{1}（M+m）g}{M}=\frac{\sqrt{3}}{2}m/{s}^{2}$，
设经过时间t′滑块与木板速度相等，则有：
v₀+at′=a₁t′
解得：$t′=2\sqrt{2}s$
此过程中，木板运动的位移${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t′}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×8=2\sqrt{3}m$，
此时F=$2\sqrt{3}N{=μ}_{1}（m+M）g$，整体受力平衡，
则在${t}_{1}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}s$内，滑块与木板一起做匀速直线运动，
此段时间内的位移${x}_{2}={a}_{1}t′{t}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}=2\sqrt{3}m$，
撤去F后，整体加速度${a}_{2}=-\frac{{μ}_{1}mg}{m}=-\sqrt{3}m/{s}^{2}$，
继续滑行的位移${x}_{3}=\frac{{{（a}_{1}t′）}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{6}{2×\sqrt{3}}=\sqrt{3}m$，
则木板在水平面上滑行的最大距离x=${x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}=5\sqrt{3}m$
答：（1）滑块下滑到斜面底端时的速度大小v₀为$2\sqrt{6}m/s$；
（2）木板在水平面上滑行的最大距离x为$5\sqrt{3}m$．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律、动能定理以及运动学基本公式的直接应用，要求同学们能正确分析物体的受力情况，特别注意滑动水平木板上后，在F和摩擦力作用下，不是做匀加速直线运动，而是匀减速直线运动，难度适中．