如图甲所示.放射性粒子源S持续放出质量为m.电荷量为+q的粒子.粒子经过ab间电场加速从小孔O沿OO1方向射入MN板间匀强电场中.OO1为两板间的中心线.与板间匀强电场垂直.在小孔O1处只有沿OO1延长线方向运动的粒子穿出．已知M.N板长为L.间距为d.两板间电压UMN随时间t变化规律如图乙所示.电压变化周期是T1．不计粒子重力和粒子间的相� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．如图甲所示，放射性粒子源S持续放出质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子经过ab间电场加速从小孔O沿OO₁方向射入MN板间匀强电场中，OO₁为两板间的中心线，与板间匀强电场垂直，在小孔O₁处只有沿OO₁延长线方向运动的粒子穿出．已知M、N板长为L，间距为d，两板间电压U_MN随时间t变化规律如图乙所示，电压变化周期是T₁．不计粒子重力和粒子间的相互作用．

（1）设放射源S放出的粒子速度大小在0～v₀范围内，已知U_ab=U₀，求带电粒子经a、b间电场加速后速度大小的范围．
（2）要保证有粒子能从小孔O₁射出电场，U大小应满足什么条件？若从小孔O射入电场的粒子速度v大小满足3.5×10⁶m/s≤v≤1.2×10⁷m/s，L=0.10m，T₁=10^-8s，则能从小孔O₁射出电场的粒子速度大小有几种？
（3）设某个粒子以速度v从小孔O₁射出沿OO₁的延长线CD匀速运动至图甲中O₂点时，空间C₁D₁D₂C₂矩形区域加一个变化的有界匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化规律如图丙所示（T₂未知），最终该粒子从边界上P点垂直于C₁D₁穿出磁场区．规定粒子运动到O₂点时刻为零时刻，磁场方向垂直纸面向里为正．已知DD₁=l，B₀=$\frac{3mv}{ql}$，CD平行于C₁D₁，O₂P与CD夹角为45°．求粒子在磁场中运动时间t．

分析（1）根据动能定理即可求出带电粒子在电场加速后的速度大小范围；
（2）能从小孔${O}_{1}^{\;}$射出电场的粒子，在垂直极板方向的速度和位移为0，粒子应该在t=2i+14T1（其中i=0，1，2，3…）时刻从小孔O进入MN板间电场．要保证粒子不撞到极板上，在垂直极板方向的最大位移应小于$\frac{d}{2}$，考虑周期性，粒子运动时间$△t=k{T}_{1}^{\;}$，求出粒子速度满足的关系式，从而得出符合条件的粒子；
（3）画出粒子运动的轨迹，结合粒子运动的周期性条件，得出粒子在磁场中运动的时间；

解答解：（1）设放射源S放出的粒子速度为v₁，粒子在小孔O时的速度为v，则
$q{U}_{0}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
其中  $0≤{v}_{1}^{\;}≤{v}_{0}^{\;}$
解得  $\sqrt{\frac{2q{U}_{0}^{\;}}{m}}≤v≤\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2q{U}_{0}^{\;}}{m}}$
（2）粒子在MN板间电场中运动的加速度  $a=\frac{qU}{dm}$
能从小孔O₁射出电场的粒子，沿电场方向的位移和速度都是零，粒子应该在$t=\frac{2i+1}{4}{T}_{1}^{\;}$（其中i=0，1，2，3…）时刻从小孔O进入MN板间电场．为了保证粒子不撞到极板上，应满足
$2×\frac{1}{2}a（\frac{{T}_{1}^{\;}}{4}）_{\;}^{2}＜\frac{d}{2}$
解得  $U＜\frac{8m{d}_{\;}^{2}}{q{T}_{1}^{2}}$
粒子在MN板间电场中运动的时间  $△t=\frac{L}{v}$
且应满足  $△t=k{T}_{1}^{\;}$（k=1，2，3…）
则有  $v=\frac{L}{k{T}_{1}^{\;}}=\frac{1{0}_{\;}^{7}}{k}$ （m/s）（k=1，2，3…）
故在3.5×10 ⁶m/s≤v≤1.2×10 ⁷m/s范围内，只有10⁷m/s和5×10⁶m/s两种速率的粒子能从小孔O₁射出电场
（3）设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，则
$qv{B}_{0}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
解得  $r=\frac{l}{3}$
根据题意可知，粒子轨迹如图，

粒子在磁场中运动的周期
$T=\frac{2πr}{v}$
则  $T=\frac{2πl}{3v}$
粒子在磁场中运动时间应满足
$t=2（n+\frac{1}{4}）T+\frac{1}{4}T$（n=0，1，2，3…）
解得  $t=（2n+\frac{3}{4}）\frac{2πl}{3v}$（n=0，1，2，3…）
答：（1）设放射源S放出的粒子速度大小在0～v0范围内，已知Uab=U0，带电粒子经a、b间电场加速后速度大小的范围为$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}^{\;}}{m}}≤v≤\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2q{U}_{0}^{\;}}{m}}$．
（2）要保证有粒子能从小孔O₁射出电场，U大小应满足条件$U＜\frac{8m{d}_{\;}^{2}}{q{T}_{1}^{2}}$，若从小孔O射入电场的粒子速度v大小满足3.5×10⁶m/s≤v≤1.2×10⁷m/s，L=0.10m，T₁=$1{0}_{\;}^{-8}$s，则能从小孔O₁射出电场的粒子速度大小有两种
（3）设某个粒子以速度v从小孔O₁射出沿OO1的延长线CD匀速运动至图甲中O₂点时，空间C₁D₁D₂C₂矩形区域加一个变化的有界匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化规律如图丙所示（T₂未知），最终该粒子从边界上P点垂直于C₁D₁穿出磁场区．规定粒子运动到O₂点时刻为零时刻，磁场方向垂直纸面向里为正．已知DD₁=l，B₀=$\frac{3mv}{ql}$，CD平行于C₁D₁，O₂P与CD夹角为45°．粒子在磁场中运动时间t为$（2n+\frac{3}{4}）\frac{2πl}{3v}$（n=0，1，2，3…）．

点评本题考查了带电微粒在电场与磁场中的运动，难度很大，分析清楚微粒运动过程、作出微粒运动轨迹是正确解题的关键，应用动能定理、牛顿第二定律和运动学公式即可正确解题，解题时要注意考虑周期性．

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10．

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5．