题目内容

精英家教网光滑绝缘水平面上有甲、乙、丙三个很小的金属球，质量均为m，甲不带电，乙带电量为+q，丙带电量为+
1
2
q．如图所示，空间存在半径为R，垂直于水平面的两匀强有界磁场．磁场区域半径R=
mv0
qB0
，以磁场圆心为坐标原点建立坐标系，y轴左侧磁场向上，右侧向下，磁感应强度大小分别为B0和4B0．若t=0时刻，甲从B点以速率v0沿着+x轴方向射出，同时，乙在第二象限内磁场内也以速率v0从某点E射出，两小球恰好在坐标原点O处相碰．碰撞瞬间能量无任何损失，且甲、乙发生速度互换．已知碰后甲速度与+x轴夹角为θ=
π
3
，而乙速度沿+x轴方向．且碰后，甲、乙两球带电量均变为+
1
2
q．阻力及小球间的静电力忽略不计．
注意：下面求解的位置坐标，都要化简为关于磁场区域半径R的表达式．
（1）试求乙在左侧磁场中圆周运动圆弧
EO
的圆心O1，坐标（x1、y1）；
（2）若甲、乙相碰在O点时，丙从磁场边界
ADC
半圆弧上某点F，以速率v0射入磁场，要使丙射出后用最短的时间和乙在某点G处相碰撞，试求出G点坐标（x2、y2）；
（3）若甲、乙相碰在O点时，丙从第一象限内磁场中的某点H，以速率v0射出后，恰好能在（2）问中的G点和乙球相碰，碰撞瞬间，乙、丙速度互换，此后乙又和甲在某点I发生了碰撞．试求I点坐标（x3、y3）．
分析：粒子在磁场中受到洛伦兹力，在洛伦兹力作用下粒子做匀圆周运动，此时满足洛伦兹力提供向心力qvB=m
v2
R
，可得粒子做圆周运动的半径R=
mv
qB
，粒子做圆周运动的周期T=
2πR
v
=
2πm
qB
，根据粒子运动轨迹和磁场区域的特征可以求出相应点的坐标，同时根据粒子做圆周运动所转过的圆心角与周期间的关系可以求出粒子的运动时间．
解答：解：（1）乙球在左侧磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力有：
qv0B=m
v
2
0
r1

则乙球做圆周运动的半径r1=
mv0
qB0

所以有：r1=R
如图：
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根据几何关系∠BOO1=
π
6

O1点的横坐标x1=-Rcos
π
6
=-
3
2
R
O1点的纵坐标y1=-Rsin
π
6
=-
1
2
R
（2）甲、乙碰撞后带电量各为+
q
2
，和丙带电量相同，因此甲、乙、丙在在右侧磁场区域的圆周运动半径相同，均为
r2=
mv0
4B0
q
2
=
mv0
2B0q

即：r2=
R
2

丙和乙在右侧磁场的运动同步进行，二者运动圆弧所对的统长始终相等，若要使丙和乙尽快相撞，那么二者相遇时，运动轨迹所对的弦长就要最短，如图所示，当乙、丙进入右侧场区的出发点连线OF和+x方向夹角∠FOD=
π
6
时，乙、丙会在OF连线的中点G处相撞，根据几何关系，此情景对应时间最短．
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最短时间为
T
6

又因为T=
2πm
4B0
q
2
=
πm
B0q

所以最短时间为
πm
6B0q

此时G点坐标：x2=
R
2
cos
π
6
=
3
R
4

             y2=
R
2
sin
π
6
=
1
4
R
（3）丙和乙要能够在G点碰撞那么，丙的出发点H和G的距离HG一定等于OG长度，以G点为圆心旋转丙的运动轨迹圆，当该轨迹圆和甲运动的轨迹圆弧相交于x轴上的I点时，可以满足题设条件：即丙从H点射出后，经过
T
6
和乙球在G点相碰，乙、丙速度互换，此后又经过
T
6
，乙和甲在I点发生了碰撞．
如图：
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根据几何关系可知：
I点的横坐标：x3=2
R
2
cos
π
6
=
3
R
2

I点的纵坐标y3=0
答：（1）乙在左侧磁场中圆周运动圆弧
EO
的圆心O1，坐标（-
3
R
2
，-
R
2
）；
（2）若甲、乙相碰在O点时，丙从磁场边界
ADC
半圆弧上某点F，以速率v0射入磁场，要使丙射出后用最短的时间为
πm
6B0q
和乙在某点G处相碰撞的坐标（
3
R
4
，
R
4
）；
（3）若甲、乙相碰在O点时，丙从第一象限内磁场中的某点H，以速率v0射出后，恰好能在（2）问中的G点和乙球相碰，碰撞瞬间，乙、丙速度互换，此后乙又和甲在某点I发生了碰撞，则I点坐标（-
3
R
2
，0）．
点评：能正确处理洛伦兹力提供向心力算得粒子做圆周运动半径与周期间的关系，能在磁场图中正确的画出粒子圆周运动的轨迹，根据几何关系可以求得相应的结果．解决本题的根本是正确画出粒子的运动轨迹，并能根据半径周期关系求出相应点的坐标和时间．
练习册系列答案
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A．甲、乙两小球一定带同种电荷

B．t1时刻两电荷的电势能最大

C．0~t2时间内两电荷间的相互作用力一直增大

D．t1~t3时间内，乙的动能一直减小

 

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