Question

18．如图所示，半径为$\frac{l}{4}$、质量为m的小球用两根不可伸长的轻绳a、b连接（绳子的延长线经过球心 ），两轻绳的另一端系在一根竖直杆的A、B两点上，A、B两点相距为l，当两轻绳伸直后，A、B两点到球心的距离均为l．当竖直杆以自己为轴转动并达到稳定时（轻绳a、b与杆在同一竖直平面内）．求：
（1）竖直杆角速度ω为多大时，小球恰好离开竖直杆？
（2）当竖直杆角速度ω=2$\sqrt{\frac{g}{l}}$时，轻绳a的张力F_a为多大？

Answer 1

分析 （1）小球恰离开竖直杆时，受重力和拉力，拉力的竖直分力与重力平衡，水平分力提供向心力；
（2）由向心力公式可明确此时绳是否张紧，再根据向心力公式列式即可明确此时绳a的拉力．

解答 （1）小球恰好离开竖直杆时，小球与竖直杆间的作用力为零，设此时轻绳a与竖直杆间的夹角为α，由题意可知
sinα=$\frac{1}{4}$，r=$\frac{l}{4}$
沿半径：F_asin α=mω²r
垂直半径：F_acos α=mg
联立解得ω=2$\sqrt{\frac{g}{15l}}$．
（2）若角速度ω再增大，小球将离开竖直杆，在轻绳b恰伸直前，设轻绳a与竖直杆的夹角为β，此时小球做圆周运动的半径为r=lsin β
沿半径：F_asin β=mω²r，
垂直半径：F_acos β=mg
联立解得F_a=mω²l
当轻绳b恰伸直时，β=60°，此时ω=$\sqrt{\frac{2g}{l}}$
由于ω=2$\sqrt{\frac{g}{l}}$＞$\sqrt{\frac{2g}{l}}$
故轻绳b已拉直，小球做圆周运动的半径为r=lsin 60°
沿半径：F_asin 60°+F_bsin 60°=mω²r
垂直半径：F_acos 60°=F_bcos 60°+mg
联立解得F_a=$\frac{1}{2}$mlω²+mg，代入数据解得：F_a=3mg
答：（1）竖直杆角速度ω为2$\sqrt{\frac{g}{15l}}$时，小球恰好离开竖直杆？
（2）当竖直杆角速度ω=2$\sqrt{\frac{g}{l}}$时，轻绳a的张力F_a为3mg．

点评 本题关键是明确明确小球合力的水平分力提供向心力，竖直分力平衡；要注意第二问在解题时一定要先判断绳b的状态才能准确求解．