题目内容

3．如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场，左侧匀强电场两边界间的电势差为U，场强方向水平向右，其宽度为L；中间区域匀强磁场磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外．右侧匀强磁场的磁感应强度大小为4B，方向垂直纸面向里，一个带正电的粒子（质量为m、电量q，不计重力）从电场左边缘a点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到了a点，然后重复上述运动过程．求：
（1）粒子进入磁场时的初速度
（2）中间磁场区域的宽度d．
（3）带电粒子从a点开始运动到第一次回到a点时所用的时间t．

分析 （1）带正电的粒子在电场中做匀加速直线运动，垂直进入磁场后做匀速圆周运动，画出粒子运动的轨迹，根据动能定理即可求解带电粒子在磁场中运动的速率；
（2）粒子在磁场中由洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律求出轨迹的半径．根据几何关系求解中间磁场区域的宽度；
（3）先求出在电场中运动的时间，再求出在两段磁场中运动的时间，三者之和即可带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间．

解答 解：（1）带电粒子在电场中加速过程，由动能定理得：
qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，得v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$
（2）设粒子在两磁场中做匀速圆周运动的半径分别为r1和r2．
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得，r1=$\frac{m\sqrt{2qU}}{qB}$，r2=$\frac{m\sqrt{2qU}}{4qB}$=$\frac{1}{4}{r}_{1}$
画出带电粒子的运动轨迹如图．设两轨迹圆心连线与磁场边界成θ角，则由几何知识得
   2（r1-r1cosθ）=2r2cosθ
又r1=4r2，
解得，cosθ=$\frac{4}{5}$，则sinθ=$\sqrt{1-\frac{{4}^{2}}{{5}^{2}}}=\frac{3}{5}$
θ=37°=$\frac{37π}{180}$rad
故中间磁场区域的宽度d=r1sinθ=$\frac{3}{5}{r}_{1}=\frac{3m\sqrt{2qU}}{5qB}$
（3）以t1、t2、t3分别表示粒子在电场、中间磁场及右边磁场中运动的时间，则
   L=$\overline{v}{t}_{1}$=$\frac{v}{2}{t}_{1}$
得：t1=$2L\sqrt{\frac{m}{2qU}}$
  vt2=r1•2θ
  vt3=r2•（π+2θ）
总时间为：t=t1+t2+t3
代入数据得：t=$2L\sqrt{\frac{m}{2qU}}$+$\frac{365πm}{360qB}$
答：（1）带电粒子在磁场中运动的速率是$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）中间磁场区域的宽度d是$\frac{3m\sqrt{2qU}}{5qB}$；
（3）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用的时间t是$2L\sqrt{\frac{m}{2qU}}$+$\frac{365πm}{360qB}$．

点评 本题是带电粒子在组合场中运动的问题，解题关键是画出粒子的运动轨迹，运用几何知识求解轨迹半径．

练习册系列答案
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