Question

17．2013年成功发射的“嫦娥三号”卫星实现了软着陆、无人探测及月夜生存三大创新．假设为了探测月球，载着登陆舱的探测飞船在以月球中心为圆心，半径为r ₁的圆轨道上运动，周期为T ₁、总质量为m ₁．随后登陆舱脱离飞船，变轨到离月球更近的半径为r₂的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m ₂．则下列有关说法正确的是（　　）

• A． 月球的质量M=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{G{{T}_{1}}^{2}}$
• B． 登陆舱在半径为r ₂ 轨道上运动的周期T ₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$
• C． 登陆舱在半径为r₁ 与半径为r ₂的轨道上运动的线速度比$\sqrt{\frac{{m}_{1}{r}_{1}}{{m}_{2}{r}_{2}}}$
• D． 月球表面的重力加速度g_n=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{{T}_{1}}^{2}}$

Answer 1

分析 1、根据万有引力提供向心力G $\frac{M{m}_{1}^{\;}}{{r}_{1}^{2}}$=m₁ $\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}$r₁，化简可得月球的质量M；
2、根据开普勒第三定律 $\frac{{r}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{r}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$，化简可得登陆舱在半径为r₂轨道上的周期T₂；
3、根据万有引力提供向心力$G\frac{M{m}_{1}^{\;}}{{r}_{1}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$得，v₁=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}^{\;}}}$，因此速度之比等于二次方根下半径的反比；
4、根据牛顿第二定律m₁r₁ $\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}$=m₁a₁，化简可得向心加速度，可以判断与月球表面的重力加速度的关系．

解答 解：A、根据$G\frac{M{m}_{1}^{\;}}{{r}_{1}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}^{\;}$可得，月球的质量M=$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$，故A项错误；
B、根据开普勒第三定律 $\frac{{r}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{r}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$，可得${T}_{2}^{\;}={T}_{1}^{\;}\sqrt{\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}}$，故B项正确；
C、根据$G\frac{M{m}_{1}^{\;}}{{r}_{1}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$得，v₁=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}^{\;}}}$，同理可得，v₂=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{2}^{\;}}}$，所以 $\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}^{\;}}{{r}_{1}^{\;}}}$，故C项错误；
D、根据${m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}^{\;}={m}_{1}^{\;}{a}_{1}^{\;}$可得，载着登陆舱的探测飞船的加速度${a}_{1}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}^{\;}$，该加速度不等于星球表面的重力加速度，故D项错误．
故选：B

点评 本题是典型的天体运动的问题，根据万有引力提供向心力是解决这类问题的重要的关系，要能根据题目的要求熟练选择不同的向心力的表达式